Номер 192, страница 107 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 192, страница 107.

Условие.

192. К какому числу стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \rightarrow 0$, если

a) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 8x_0 + 4\Delta x$, $x_0$ равно 2; -1;

б) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$, $x_0$ равно 1; -21;

в) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -2x_0 + \Delta x$, $x_0$ равно 1; 2?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти, к какому числу стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$, необходимо вычислить предел данного выражения при $\Delta x \to 0$. Это по определению является нахождением производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а)

Дано отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 8x_0 + 4\Delta x$. Найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 + 4\Delta x)$

Когда $\Delta x$ стремится к нулю, слагаемое $4\Delta x$ также стремится к нулю. Поэтому предел равен: $\lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 + 4\Delta x) = 8x_0 + 4 \cdot 0 = 8x_0$.

Теперь вычислим значения этого предела для заданных $x_0$:
1. При $x_0 = 2$: предел равен $8 \cdot 2 = 16$.
2. При $x_0 = -1$: предел равен $8 \cdot (-1) = -8$.

Ответ: при $x_0=2$ отношение стремится к 16; при $x_0=-1$ — к -8.

б)

Дано отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$. Найдем его предел при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2)$

Когда $\Delta x$ стремится к нулю, слагаемые $3x_0\Delta x$ и $(\Delta x)^2$ также стремятся к нулю. Предел равен: $\lim_{\Delta x \to 0} (3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 3x_0^2 + 3x_0 \cdot 0 + 0^2 = 3x_0^2$.

Вычислим значения для заданных $x_0$:
1. При $x_0 = 1$: предел равен $3 \cdot 1^2 = 3$.
2. При $x_0 = -21$: предел равен $3 \cdot (-21)^2 = 3 \cdot 441 = 1323$.

Ответ: при $x_0=1$ отношение стремится к 3; при $x_0=-21$ — к 1323.

в)

Дано отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -2x_0 + \Delta x$. Найдем его предел при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-2x_0 + \Delta x)$

Когда $\Delta x$ стремится к нулю, слагаемое $\Delta x$ также стремится к нулю. Предел равен: $\lim_{\Delta x \to 0} (-2x_0 + \Delta x) = -2x_0 + 0 = -2x_0$.

Вычислим значения для заданных $x_0$:
1. При $x_0 = 1$: предел равен $-2 \cdot 1 = -2$.
2. При $x_0 = 2$: предел равен $-2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: при $x_0=1$ отношение стремится к -2; при $x_0=2$ — к -4.