Номер 195, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 195, страница 108.

Условие.

195. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$, проходящей через его точку с абсциссой $x_0$, если:

а) $x_0 = -1$;

б) $x_0 = 3$;

в) $x_0 = 0$;

г) $x_0 = 2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для данной функции $f(x) = x^2$ найдем ее производную:$f'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь найдем уравнения касательных для каждого заданного значения $x_0$.

а) $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 = 1$.

2. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной):$f'(x_0) = f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = -2$ в уравнение касательной:$y = 1 + (-2)(x - (-1))$
$y = 1 - 2(x + 1)$
$y = 1 - 2x - 2$
$y = -2x - 1$.

Ответ: $y = -2x - 1$.

б) $x_0 = 3$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(3) = 3^2 = 9$.

2. Найдем значение производной в точке касания:$f'(x_0) = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = 3$, $f(x_0) = 9$ и $f'(x_0) = 6$ в уравнение касательной:$y = 9 + 6(x - 3)$
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$.

Ответ: $y = 6x - 9$.

в) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0$.

2. Найдем значение производной в точке касания:$f'(x_0) = f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 0$ в уравнение касательной:$y = 0 + 0 \cdot (x - 0)$
$y = 0$.

Ответ: $y = 0$.

г) $x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$.

2. Найдем значение производной в точке касания:$f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = 4$ и $f'(x_0) = 4$ в уравнение касательной:$y = 4 + 4(x - 2)$
$y = 4 + 4x - 8$
$y = 4x - 4$.

Ответ: $y = 4x - 4$.