Номер 200, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 200, страница 112.

Условие.

200. К какому числу стремится функция $f$, если:

а) $f(x) = x^2 - 3x + 4, x \to 0, x \to 2;$

б) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}, x \to 1, x \to 4;$

в) $f(x) = 4 - \frac{x}{2}, x \to -2, x \to 0;$

г) $f(x) = 4x - \frac{x^2}{4}, x \to -1, x \to 4?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x + 4$. Эта функция является многочленом (квадратичной функцией), а многочлены непрерывны на всей числовой оси. Это означает, что для нахождения предела функции при $x$, стремящемся к какому-либо числу, мы можем просто подставить это число в выражение функции.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 0$:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 4) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 0 - 0 + 4 = 4$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 2$:
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 4) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$.

Ответ: при $x \rightarrow 0$ функция стремится к 4; при $x \rightarrow 2$ функция стремится к 2.

б) Дана функция $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Эта функция является рациональной. Она определена и непрерывна для всех действительных чисел $x$, так как ее знаменатель $x^2 + 1$ никогда не обращается в ноль (поскольку $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 1 \geq 1$). Следовательно, предел функции можно найти путем прямой подстановки.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 1$:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{4}{4^2 + 1} = \frac{4}{16 + 1} = \frac{4}{17}$.

Ответ: при $x \rightarrow 1$ функция стремится к $\frac{1}{2}$; при $x \rightarrow 4$ функция стремится к $\frac{4}{17}$.

в) Дана функция $f(x) = 4 - \frac{x}{2}$. Эта функция является линейной (многочленом первой степени) и, следовательно, непрерывна на всей числовой оси. Предел функции находится прямой подстановкой.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow -2$:
$\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (4 - \frac{x}{2}) = 4 - \frac{-2}{2} = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 0$:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (4 - \frac{x}{2}) = 4 - \frac{0}{2} = 4 - 0 = 4$.

Ответ: при $x \rightarrow -2$ функция стремится к 5; при $x \rightarrow 0$ функция стремится к 4.

г) Дана функция $f(x) = 4x - \frac{x^2}{4}$. Эта функция является многочленом (квадратичной функцией) и непрерывна на всей числовой оси. Предел функции можно найти путем прямой подстановки.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow -1$:
$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (4x - \frac{x^2}{4}) = 4(-1) - \frac{(-1)^2}{4} = -4 - \frac{1}{4} = -4\frac{1}{4}$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} (4x - \frac{x^2}{4}) = 4(4) - \frac{4^2}{4} = 16 - \frac{16}{4} = 16 - 4 = 12$.

Ответ: при $x \rightarrow -1$ функция стремится к $-4\frac{1}{4}$; при $x \rightarrow 4$ функция стремится к 12.