Номер 206, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 206, страница 112.

Условие.

206. С какой точностью нужно измерить радиус, чтобы вычислить длину окружности с точностью до $0,06 \text{ дм}$?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Длина окружности $C$ и ее радиус $r$ связаны формулой $C = 2 \pi r$.

Погрешность вычисления длины окружности $\Delta C$ зависит от погрешности измерения радиуса $\Delta r$. Для малых погрешностей эта зависимость линейна: $\Delta C = 2 \pi \Delta r$.

По условию задачи, погрешность вычисления длины окружности не должна превышать 0,06 дм, то есть $\Delta C \le 0,06$ дм.

Подставим это в соотношение для погрешностей, чтобы найти максимально допустимую погрешность для радиуса $\Delta r$: $2 \pi \Delta r \le 0,06$

Выразим $\Delta r$: $\Delta r \le \frac{0,06}{2\pi}$ $\Delta r \le \frac{0,03}{\pi}$

Теперь вычислим приблизительное значение. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем: $\Delta r \le \frac{0,03}{3,14159...} \approx 0,009549$ дм.

Это означает, что радиус нужно измерить с погрешностью, не превышающей данное значение. Чтобы гарантировать выполнение условия, можно округлить полученное значение в меньшую сторону. Таким образом, измерение радиуса с точностью до 0,009 дм будет достаточным.

Ответ: радиус нужно измерить с точностью до $\frac{0,03}{\pi}$ дм, что составляет примерно 0,009 дм.