Номер 210, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 210, страница 117.

Условие.

210. a) $y = \frac{1+2x}{3-5x}$;

б) $y = \frac{x^2}{2x-1}$;

в) $y = \frac{3x-2}{5x+8}$;

г) $y = \frac{3-4x}{x^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения производных данных функций используется правило дифференцирования частного (дроби). Если функция представлена в виде $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, то ее производная находится по формуле:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

где $u'$ и $v'$ — это производные функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно.

а) $y = \frac{1+2x}{3-5x}$

В этой функции числитель $u = 1+2x$ и знаменатель $v = 3-5x$.

Находим их производные:

$u' = (1+2x)' = 2$

$v' = (3-5x)' = -5$

Подставляем найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(1+2x)'(3-5x) - (1+2x)(3-5x)'}{(3-5x)^2} = \frac{2(3-5x) - (1+2x)(-5)}{(3-5x)^2}$

Теперь упростим выражение в числителе:

$\frac{6 - 10x - (-5 - 10x)}{(3-5x)^2} = \frac{6 - 10x + 5 + 10x}{(3-5x)^2} = \frac{11}{(3-5x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{11}{(3-5x)^2}$

б) $y = \frac{x^2}{2x-1}$

Здесь $u = x^2$ и $v = 2x-1$.

Находим производные:

$u' = (x^2)' = 2x$

$v' = (2x-1)' = 2$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^2)'(2x-1) - x^2(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{2x(2x-1) - x^2 \cdot 2}{(2x-1)^2}$

Упрощаем числитель:

$\frac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}$

в) $y = \frac{3x-2}{5x+8}$

Здесь $u = 3x-2$ и $v = 5x+8$.

Находим производные:

$u' = (3x-2)' = 3$

$v' = (5x+8)' = 5$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(3x-2)'(5x+8) - (3x-2)(5x+8)'}{(5x+8)^2} = \frac{3(5x+8) - (3x-2) \cdot 5}{(5x+8)^2}$

Упрощаем числитель:

$\frac{15x + 24 - (15x - 10)}{(5x+8)^2} = \frac{15x + 24 - 15x + 10}{(5x+8)^2} = \frac{34}{(5x+8)^2}$

Ответ: $y' = \frac{34}{(5x+8)^2}$

г) $y = \frac{3-4x}{x^2}$

Здесь $u = 3-4x$ и $v = x^2$.

Находим производные:

$u' = (3-4x)' = -4$

$v' = (x^2)' = 2x$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(3-4x)'(x^2) - (3-4x)(x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{-4 \cdot x^2 - (3-4x) \cdot 2x}{x^4}$

Упрощаем числитель:

$\frac{-4x^2 - (6x - 8x^2)}{x^4} = \frac{-4x^2 - 6x + 8x^2}{x^4} = \frac{4x^2 - 6x}{x^4}$

Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(4x-6)}{x^4} = \frac{4x-6}{x^3}$

Ответ: $y' = \frac{4x-6}{x^3}$