Номер 217, страница 118 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 217, страница 118.

Условие.

217.— Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

a) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 63x;$

б) $f(x) = 3x - 5x^2 + x^3;$

в) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 8x;$

г) $f(x) = 3x^2 - 9x - \frac{1}{3}x^3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 - 63x$.
Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 63x)' = 3x^2 - 2 \cdot 6x - 63 = 3x^2 - 12x - 63$.
Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:
$3x^2 - 12x - 63 < 0$.
Чтобы упростить, разделим обе части неравенства на 3:
$x^2 - 4x - 21 < 0$.
Для решения этого квадратичного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 7$ (так как их сумма равна 4, а произведение -21).
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-3 < x < 7$.
Ответ: $(-3, 7)$.

б) Дана функция $f(x) = 3x - 5x^2 + x^3$. Запишем ее в стандартном виде: $f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 5x^2 + 3x)' = 3x^2 - 2 \cdot 5x + 3 = 3x^2 - 10x + 3$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$3x^2 - 10x + 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен (3 > 0), ветви параболы $y = 3x^2 - 10x + 3$ направлены вверх. Неравенство выполняется для значений $x$ между корнями.
Решение: $\frac{1}{3} < x < 3$.
Ответ: $(\frac{1}{3}, 3)$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 8x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{2}{3}x^3 - 8x)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 8 = 2x^2 - 8$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$2x^2 - 8 < 0$.
Разделим обе части на 2:
$x^2 - 4 < 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2) < 0$.
Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.
Решение: $-2 < x < 2$.
Ответ: $(-2, 2)$.

г) Дана функция $f(x) = 3x^2 - 9x - \frac{1}{3}x^3$. Запишем ее в стандартном виде: $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot 3x - 9 = -x^2 + 6x - 9$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$-x^2 + 6x - 9 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 6x + 9 > 0$.
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Выражение $(x-3)^2$ равно нулю при $x=3$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=3$.
Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.