Номер 221, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 221, страница 120.
№221 (с. 120)
Условие. №221 (с. 120)
скриншот условия

221. a) $h(x) = (3 - 5x)^5$;
б) $h(x) = \sqrt{\cos x}$;
в) $h(x) = (2x + 1)^7$;
г) $h(x) = \operatorname{tg} \frac{1}{x}$.
Решение 1. №221 (с. 120)

Решение 3. №221 (с. 120)

Решение 4. №221 (с. 120)

Решение 5. №221 (с. 120)
а) $h(x) = (3 - 5x)^5$
Для нахождения производной данной сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^5$, а внутренняя функция — линейная $g(x) = 3 - 5x$.
Сначала найдем производные этих функций по отдельности:
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^5)' = 5u^4$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3 - 5x)' = -5$.
Теперь, согласно цепному правилу, умножим производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(3 - 5x)^4 \cdot (-5) = -25(3 - 5x)^4$.
Ответ: $h'(x) = -25(3 - 5x)^4$.
б) $h(x) = \sqrt{\cos x}$
Эта функция также является сложной. Внешняя функция — это квадратный корень $f(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя — косинус $g(x) = \cos x$.
Найдем производные:
Производная внешней функции: $f'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Применим цепное правило:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$.
в) $h(x) = (2x + 1)^7$
Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $f(u) = u^7$, а внутренняя — линейная $g(x) = 2x + 1$.
Найдем производные этих функций:
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^7)' = 7u^6$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x + 1)' = 2$.
По цепному правилу, производная исходной функции равна:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 7(2x + 1)^6 \cdot 2 = 14(2x + 1)^6$.
Ответ: $h'(x) = 14(2x + 1)^6$.
г) $h(x) = \operatorname{tg} \frac{1}{x}$
Это сложная функция. Внешняя функция — тангенс $f(u) = \operatorname{tg} u$, а внутренняя — $g(x) = \frac{1}{x}$.
Найдем производные:
Производная внешней функции: $f'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Применяя цепное правило, получаем:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{1}{x})} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2 \cos^2(\frac{1}{x})}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{1}{x^2 \cos^2(\frac{1}{x})}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 221 расположенного на странице 120 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №221 (с. 120), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.