Номер 221, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 221, страница 120.

Условие.

221. a) $h(x) = (3 - 5x)^5$;

б) $h(x) = \sqrt{\cos x}$;

в) $h(x) = (2x + 1)^7$;

г) $h(x) = \operatorname{tg} \frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $h(x) = (3 - 5x)^5$

Для нахождения производной данной сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^5$, а внутренняя функция — линейная $g(x) = 3 - 5x$.

Сначала найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^5)' = 5u^4$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (3 - 5x)' = -5$.

Теперь, согласно цепному правилу, умножим производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(3 - 5x)^4 \cdot (-5) = -25(3 - 5x)^4$.

Ответ: $h'(x) = -25(3 - 5x)^4$.

б) $h(x) = \sqrt{\cos x}$

Эта функция также является сложной. Внешняя функция — это квадратный корень $f(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя — косинус $g(x) = \cos x$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применим цепное правило:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$.

Ответ: $h'(x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$.

в) $h(x) = (2x + 1)^7$

Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $f(u) = u^7$, а внутренняя — линейная $g(x) = 2x + 1$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^7)' = 7u^6$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x + 1)' = 2$.

По цепному правилу, производная исходной функции равна:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 7(2x + 1)^6 \cdot 2 = 14(2x + 1)^6$.

Ответ: $h'(x) = 14(2x + 1)^6$.

г) $h(x) = \operatorname{tg} \frac{1}{x}$

Это сложная функция. Внешняя функция — тангенс $f(u) = \operatorname{tg} u$, а внутренняя — $g(x) = \frac{1}{x}$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Применяя цепное правило, получаем:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{1}{x})} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2 \cos^2(\frac{1}{x})}$.

Ответ: $h'(x) = -\frac{1}{x^2 \cos^2(\frac{1}{x})}$.