Номер 224, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 224, страница 120.

Условие.

Найдите производные функций (224—225).

224. а) $f(x) = (2x - 7)^8;$

б) $f(x) = \frac{1}{(5x + 1)^3};$

в) $f(x) = (9x + 5)^4;$

г) $f(x) = \frac{1}{(6x - 1)^5}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Если функция имеет вид $f(x) = g(h(x))$, то ее производная равна $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В частности, для степенной функции $y = (u(x))^n$, производная находится по формуле: $y' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$.

а) Дана функция $f(x) = (2x - 7)^8$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 2x - 7$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^8$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (2x - 7)' = 2$.
Теперь применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = 8 \cdot (2x - 7)^{8-1} \cdot (2x - 7)'$
$f'(x) = 8 \cdot (2x - 7)^7 \cdot 2$
$f'(x) = 16(2x - 7)^7$
Ответ: $f'(x) = 16(2x - 7)^7$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(5x+1)^3}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = (5x+1)^{-3}$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 5x+1$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{-3}$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (5x+1)' = 5$.
Применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = -3 \cdot (5x+1)^{-3-1} \cdot (5x+1)'$
$f'(x) = -3 \cdot (5x+1)^{-4} \cdot 5$
$f'(x) = -15(5x+1)^{-4}$
Запишем ответ в виде дроби:
$f'(x) = -\frac{15}{(5x+1)^4}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{15}{(5x+1)^4}$.

в) Дана функция $f(x) = (9x + 5)^4$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 9x+5$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^4$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (9x+5)' = 9$.
Применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = 4 \cdot (9x+5)^{4-1} \cdot (9x+5)'$
$f'(x) = 4 \cdot (9x+5)^3 \cdot 9$
$f'(x) = 36(9x+5)^3$
Ответ: $f'(x) = 36(9x+5)^3$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(6x-1)^5}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = (6x-1)^{-5}$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 6x-1$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{-5}$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (6x-1)' = 6$.
Применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = -5 \cdot (6x-1)^{-5-1} \cdot (6x-1)'$
$f'(x) = -5 \cdot (6x-1)^{-6} \cdot 6$
$f'(x) = -30(6x-1)^{-6}$
Запишем ответ в виде дроби:
$f'(x) = -\frac{30}{(6x-1)^6}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{30}{(6x-1)^6}$.