Номер 218, страница 118 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 218, страница 118.

Условие.

218.— Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная которой равна:

a) $2x + 3$;

б) $16x^3 - 0,4$;

в) $8x - 2$;

г) $9x^2 - \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данная задача заключается в нахождении первообразной (или антипроизводной) для заданных выражений. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой $F'(x)$ равна $f(x)$. Процесс нахождения первообразной является операцией, обратной дифференцированию, и называется интегрированием.

Для нахождения первообразных мы будем использовать следующие основные правила:

• Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (для $n \ne -1$).
• Первообразная для константы $c$ есть $cx$.
• Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных.

Поскольку производная любой константы равна нулю, для каждой функции существует бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на произвольную постоянную $C$. В задании требуется найти "хотя бы одну функцию", поэтому мы можем выбрать простейший случай, когда эта константа равна нулю ($C=0$).

---

а) $2x + 3$

Нужно найти функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 2x + 3$.

Найдём первообразную для каждого слагаемого по отдельности:

Для слагаемого $2x$, которое можно записать как $2x^1$, первообразная равна $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

Для слагаемого $3$ (константа), первообразная равна $3x$.

Сложив полученные результаты, получаем одну из возможных функций: $F(x) = x^2 + 3x$.

Для проверки найдём производную от полученной функции: $(x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$. Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x$.

---

б) $16x^3 - 0,4$

Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 16x^3 - 0,4$.

Первообразная для $16x^3$: $16 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 16 \cdot \frac{x^4}{4} = 4x^4$.

Первообразная для $-0,4$: $-0,4x$.

Следовательно, искомая функция: $F(x) = 4x^4 - 0,4x$.

Проверка: $(4x^4 - 0,4x)' = 4 \cdot 4x^3 - 0,4 = 16x^3 - 0,4$.

Ответ: $F(x) = 4x^4 - 0,4x$.

---

в) $8x - 2$

Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 8x - 2$.

Первообразная для $8x$: $8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2$.

Первообразная для $-2$: $-2x$.

Таким образом, одна из возможных функций: $F(x) = 4x^2 - 2x$.

Проверка: $(4x^2 - 2x)' = 4 \cdot 2x - 2 = 8x - 2$.

Ответ: $F(x) = 4x^2 - 2x$.

---

г) $9x^2 - \frac{1}{2}$

Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 9x^2 - \frac{1}{2}$.

Первообразная для $9x^2$: $9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$.

Первообразная для $-\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2}x$.

Следовательно, одна из искомых функций: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{2}x$.

Проверка: $(3x^3 - \frac{1}{2}x)' = 3 \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} = 9x^2 - \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{2}x$.