Номер 218, страница 118 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 218, страница 118.
№218 (с. 118)
Условие. №218 (с. 118)
скриншот условия

218.— Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная которой равна:
a) $2x + 3$;
б) $16x^3 - 0,4$;
в) $8x - 2$;
г) $9x^2 - \frac{1}{2}$.
Решение 1. №218 (с. 118)

Решение 3. №218 (с. 118)

Решение 4. №218 (с. 118)

Решение 5. №218 (с. 118)
Данная задача заключается в нахождении первообразной (или антипроизводной) для заданных выражений. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой $F'(x)$ равна $f(x)$. Процесс нахождения первообразной является операцией, обратной дифференцированию, и называется интегрированием.
Для нахождения первообразных мы будем использовать следующие основные правила:
- Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (для $n \ne -1$).
- Первообразная для константы $c$ есть $cx$.
- Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных.
Поскольку производная любой константы равна нулю, для каждой функции существует бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на произвольную постоянную $C$. В задании требуется найти "хотя бы одну функцию", поэтому мы можем выбрать простейший случай, когда эта константа равна нулю ($C=0$).
а) $2x + 3$
Нужно найти функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 2x + 3$.
Найдём первообразную для каждого слагаемого по отдельности:
Для слагаемого $2x$, которое можно записать как $2x^1$, первообразная равна $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.
Для слагаемого $3$ (константа), первообразная равна $3x$.
Сложив полученные результаты, получаем одну из возможных функций: $F(x) = x^2 + 3x$.
Для проверки найдём производную от полученной функции: $(x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$. Результат совпадает с исходным выражением.
Ответ: $F(x) = x^2 + 3x$.
б) $16x^3 - 0,4$
Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 16x^3 - 0,4$.
Первообразная для $16x^3$: $16 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 16 \cdot \frac{x^4}{4} = 4x^4$.
Первообразная для $-0,4$: $-0,4x$.
Следовательно, искомая функция: $F(x) = 4x^4 - 0,4x$.
Проверка: $(4x^4 - 0,4x)' = 4 \cdot 4x^3 - 0,4 = 16x^3 - 0,4$.
Ответ: $F(x) = 4x^4 - 0,4x$.
в) $8x - 2$
Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 8x - 2$.
Первообразная для $8x$: $8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2$.
Первообразная для $-2$: $-2x$.
Таким образом, одна из возможных функций: $F(x) = 4x^2 - 2x$.
Проверка: $(4x^2 - 2x)' = 4 \cdot 2x - 2 = 8x - 2$.
Ответ: $F(x) = 4x^2 - 2x$.
г) $9x^2 - \frac{1}{2}$
Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 9x^2 - \frac{1}{2}$.
Первообразная для $9x^2$: $9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$.
Первообразная для $-\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2}x$.
Следовательно, одна из искомых функций: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{2}x$.
Проверка: $(3x^3 - \frac{1}{2}x)' = 3 \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} = 9x^2 - \frac{1}{2}$.
Ответ: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{2}x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 218 расположенного на странице 118 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №218 (с. 118), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.