Страница 118 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

217.— Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

a) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 63x;$

б) $f(x) = 3x - 5x^2 + x^3;$

в) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 8x;$

г) $f(x) = 3x^2 - 9x - \frac{1}{3}x^3.$

а) Дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 - 63x$.
Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 63x)' = 3x^2 - 2 \cdot 6x - 63 = 3x^2 - 12x - 63$.
Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:
$3x^2 - 12x - 63 < 0$.
Чтобы упростить, разделим обе части неравенства на 3:
$x^2 - 4x - 21 < 0$.
Для решения этого квадратичного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 7$ (так как их сумма равна 4, а произведение -21).
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-3 < x < 7$.
Ответ: $(-3, 7)$.

б) Дана функция $f(x) = 3x - 5x^2 + x^3$. Запишем ее в стандартном виде: $f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 5x^2 + 3x)' = 3x^2 - 2 \cdot 5x + 3 = 3x^2 - 10x + 3$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$3x^2 - 10x + 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен (3 > 0), ветви параболы $y = 3x^2 - 10x + 3$ направлены вверх. Неравенство выполняется для значений $x$ между корнями.
Решение: $\frac{1}{3} < x < 3$.
Ответ: $(\frac{1}{3}, 3)$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 8x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{2}{3}x^3 - 8x)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 8 = 2x^2 - 8$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$2x^2 - 8 < 0$.
Разделим обе части на 2:
$x^2 - 4 < 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2) < 0$.
Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.
Решение: $-2 < x < 2$.
Ответ: $(-2, 2)$.

г) Дана функция $f(x) = 3x^2 - 9x - \frac{1}{3}x^3$. Запишем ее в стандартном виде: $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot 3x - 9 = -x^2 + 6x - 9$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$-x^2 + 6x - 9 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 6x + 9 > 0$.
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Выражение $(x-3)^2$ равно нулю при $x=3$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=3$.
Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

218.— Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная которой равна:

a) $2x + 3$;

б) $16x^3 - 0,4$;

в) $8x - 2$;

г) $9x^2 - \frac{1}{2}$.

Данная задача заключается в нахождении первообразной (или антипроизводной) для заданных выражений. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой $F'(x)$ равна $f(x)$. Процесс нахождения первообразной является операцией, обратной дифференцированию, и называется интегрированием.

Для нахождения первообразных мы будем использовать следующие основные правила:

• Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (для $n \ne -1$).
• Первообразная для константы $c$ есть $cx$.
• Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных.

Поскольку производная любой константы равна нулю, для каждой функции существует бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на произвольную постоянную $C$. В задании требуется найти "хотя бы одну функцию", поэтому мы можем выбрать простейший случай, когда эта константа равна нулю ($C=0$).

а) $2x + 3$

Нужно найти функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 2x + 3$.

Найдём первообразную для каждого слагаемого по отдельности:

Для слагаемого $2x$, которое можно записать как $2x^1$, первообразная равна $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

Для слагаемого $3$ (константа), первообразная равна $3x$.

Сложив полученные результаты, получаем одну из возможных функций: $F(x) = x^2 + 3x$.

Для проверки найдём производную от полученной функции: $(x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$. Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x$.

б) $16x^3 - 0,4$

Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 16x^3 - 0,4$.

Первообразная для $16x^3$: $16 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 16 \cdot \frac{x^4}{4} = 4x^4$.

Первообразная для $-0,4$: $-0,4x$.

Следовательно, искомая функция: $F(x) = 4x^4 - 0,4x$.

Проверка: $(4x^4 - 0,4x)' = 4 \cdot 4x^3 - 0,4 = 16x^3 - 0,4$.

Ответ: $F(x) = 4x^4 - 0,4x$.

в) $8x - 2$

Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 8x - 2$.

Первообразная для $8x$: $8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2$.

Первообразная для $-2$: $-2x$.

Таким образом, одна из возможных функций: $F(x) = 4x^2 - 2x$.

Проверка: $(4x^2 - 2x)' = 4 \cdot 2x - 2 = 8x - 2$.

Ответ: $F(x) = 4x^2 - 2x$.

г) $9x^2 - \frac{1}{2}$

Найдём функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 9x^2 - \frac{1}{2}$.

Первообразная для $9x^2$: $9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$.

Первообразная для $-\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2}x$.

Следовательно, одна из искомых функций: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{2}x$.

Проверка: $(3x^3 - \frac{1}{2}x)' = 3 \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} = 9x^2 - \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = 3x^3 - \frac{1}{2}x$.

219.- Верно ли, что функция $\phi (x) = f_1 (x) + f_2 (x)$ не имеет производной в точке $x_0$, если известно, что:

а) каждая из функций $f_1 (x)$ и $f_2 (x)$ не имеет производной в точке $x_0$;

б) $f_1 (x)$ имеет производную в точке $x_0$, а $f_2 (x)$ не имеет?

а) Утверждение неверно. Сумма двух функций, не имеющих производной в точке $x_0$, может иметь производную в этой точке. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Пусть точка $x_0 = 0$. Рассмотрим две функции: $f_1(x) = |x|$ и $f_2(x) = -|x|$.

Функция $f_1(x) = |x|$ не имеет производной в точке $x_0 = 0$. Это известно из-за того, что ее односторонние производные в этой точке не равны:

Правосторонняя производная: $f'_{1,+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f_1(0+\Delta x) - f_1(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Левосторонняя производная: $f'_{1,-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f_1(0+\Delta x) - f_1(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.

Поскольку $f'_{1,+}(0) \neq f'_{1,-}(0)$, производная функции $f_1(x)$ в точке $x_0 = 0$ не существует.

Аналогично, функция $f_2(x) = -|x|$ также не имеет производной в точке $x_0 = 0$ (ее правосторонняя производная равна -1, а левосторонняя равна 1).

Теперь рассмотрим их сумму: $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x) = |x| + (-|x|) = |x| - |x| = 0$.

Функция $\phi(x) = 0$ — это константа. Ее производная существует в любой точке и равна нулю: $\phi'(x) = 0$. Следовательно, функция $\phi(x)$ имеет производную в точке $x_0=0$.

Таким образом, мы нашли две функции, каждая из которых не имеет производной в точке $x_0$, но их сумма имеет производную в этой точке.

Ответ: неверно.

б) Утверждение верно. Докажем его методом от противного.

Дано, что функция $f_1(x)$ имеет производную в точке $x_0$ (то есть $f'_1(x_0)$ существует), а функция $f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$. Нам нужно проанализировать их сумму $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x)$.

Предположим, что утверждение неверно, то есть функция $\phi(x)$ имеет производную в точке $x_0$.

Выразим функцию $f_2(x)$ из определения функции $\phi(x)$:

$f_2(x) = \phi(x) - f_1(x)$

Известно свойство производных: если две функции дифференцируемы в некоторой точке, то их разность также дифференцируема в этой точке. В нашем случае:

1. Функция $\phi(x)$ дифференцируема в $x_0$ (по нашему предположению).

2. Функция $f_1(x)$ дифференцируема в $x_0$ (по условию задачи).

Следовательно, их разность, функция $f_2(x) = \phi(x) - f_1(x)$, должна быть дифференцируема в точке $x_0$.

Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что функция $f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно было неверным. Следовательно, функция $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$.

Ответ: верно.