Страница 111 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

197. - Является ли непрерывной в каждой из точек $x_1, x_2, x_3$ функция, график которой изображен на рисунке 87?

Поскольку изображение графика функции (рисунок 87) отсутствует, невозможно дать однозначный ответ для конкретных точек $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Однако, ниже представлено развернутое объяснение того, как определить непрерывность функции в точке по ее графику. Вы сможете использовать это руководство для самостоятельного анализа, как только у вас будет изображение графика.

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x = a$, если выполняются три условия:

1. Функция определена в этой точке, то есть существует значение $f(a)$. На графике это обычно обозначается закрашенной точкой $(a, f(a))$.
2. Существует предел функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to a} f(x)$ существует. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. Графически это значит, что при приближении к точке $a$ слева и справа, график стремится к одной и той же высоте (одному и тому же значению по оси Y).
3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Проще говоря, функция непрерывна в точке, если ее график в этой точке является сплошной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Если в точке есть "прокол" (выколотая точка), "скачок" или график уходит в бесконечность (вертикальная асимптота), то функция в этой точке разрывна.

Анализ непрерывности в точке $x_1$

Чтобы определить, является ли функция непрерывной в точке $x_1$, необходимо проанализировать ее график в окрестности этой точки:

1. Посмотрите на график в точке $x_1$. Есть ли там закрашенная точка? Если да, то функция определена в этой точке и условие 1 выполнено. Если точка выколота (пустой кружок), то функция не определена и, следовательно, разрывна.
2. Посмотрите, куда "идет" график слева и справа от $x_1$. Если ветви графика слева и справа от $x_1$ сходятся в одной и той же точке по высоте, то предел существует (условие 2 выполнено). Если они подходят к разным высотам (график делает "скачок"), то предел не существует, и функция разрывна.
3. Сравните предел и значение функции. Если оба предыдущих условия выполнены, сравните точку, в которой сходится график (предел), и положение закрашенной точки (значение функции). Если они совпадают, то функция непрерывна. Если предел существует, но значение функции в этой точке другое или не определено (случай "прокола" или "выколотой точки"), то функция разрывна.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_1$, если ее график в этой точке является сплошной линией. Если в точке $x_1$ есть разрыв любого вида (скачок, прокол), то функция не является непрерывной в этой точке. Необходимо изучить рисунок 87 для получения конкретного ответа.

Анализ непрерывности в точке $x_2$

Анализ для точки $x_2$ проводится аналогично анализу для точки $x_1$. Нужно последовательно проверить три условия непрерывности, изучая поведение графика функции вблизи $x_2$.

1. Наличие $f(x_2)$: ищем закрашенную точку на вертикальной линии $x=x_2$.
2. Существование предела $\lim_{x \to x_2} f(x)$: сравниваем, к какой высоте стремится график при приближении к $x_2$ слева и справа.
3. Равенство предела и значения функции: сверяем, совпадает ли точка схождения графика со значением функции в точке $x_2$.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_2$, если ее график в этой точке является сплошной линией. Если в точке $x_2$ есть разрыв любого вида (скачок, прокол), то функция не является непрерывной в этой точке. Необходимо изучить рисунок 87 для получения конкретного ответа.

Анализ непрерывности в точке $x_3$

Анализ для точки $x_3$ проводится по тому же алгоритму, что и для предыдущих точек.

1. Наличие $f(x_3)$: ищем закрашенную точку на вертикальной линии $x=x_3$.
2. Существование предела $\lim_{x \to x_3} f(x)$: сравниваем, к какой высоте стремится график при приближении к $x_3$ слева и справа.
3. Равенство предела и значения функции: сверяем, совпадает ли точка схождения графика со значением функции в точке $x_3$.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_3$, если ее график в этой точке является сплошной линией. Если в точке $x_3$ есть разрыв любого вида (скачок, прокол), то функция не является непрерывной в этой точке. Необходимо изучить рисунок 87 для получения конкретного ответа.

198. – Постройте график функции f. Содержится ли в ее области определения точка, в которой функция не является непрерывной?

а) $f(x) = \begin{cases} x-1 \text{ при } x \le -1 \\ 1-x^2 \text{ при } x > -1 \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} 2-x \text{ при } x \le 1 \\ 2x-1 \text{ при } x > 1 \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} x+2 \text{ при } x < 1 \\ \frac{1}{x} \text{ при } x \ge 1 \end{cases}$

Рис. 87

а) $f(x) = \begin{cases} x-1 & \text{при } x \le -1, \\ 1-x^2 & \text{при } x > -1; \end{cases}$

1. Построение графика.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
При $x \le -1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = x-1$. Это луч, который начинается в точке с абсциссой $x=-1$. Найдем ординату этой точки: $y(-1) = -1-1 = -2$. Итак, одна часть графика — луч, выходящий из точки $(-1, -2)$.
При $x > -1$ график функции совпадает с графиком параболы $y = 1-x^2$. Ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $(0, 1)$. На границе интервала, при $x \to -1^+$, значение функции стремится к $y = 1 - (-1)^2 = 0$. Таким образом, вторая часть графика — это дуга параболы, которая начинается в "выколотой" точке $(-1, 0)$ и проходит через вершину $(0, 1)$.

2. Анализ непрерывности.
Функции $y=x-1$ и $y=1-x^2$ непрерывны на всей числовой оси. Поэтому единственной точкой, где может нарушаться непрерывность, является точка "стыка" $x=-1$.
Проверим непрерывность в точке $x=-1$. Для этого найдем значение функции в этой точке, а также левый и правый пределы.
Значение функции: $f(-1) = -1 - 1 = -2$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x-1) = -1-1 = -2$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (1-x^2) = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы не равны ($\lim_{x \to -1^-} f(x) \ne \lim_{x \to -1^+} f(x)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=-1$.
Точка $x=-1$ принадлежит области определения функции.

Ответ: График состоит из луча прямой $y=x-1$ на интервале $(-\infty, -1]$ и части параболы $y=1-x^2$ на интервале $(-1, +\infty)$. В области определения функции содержится точка $x=-1$, в которой функция не является непрерывной (терпит разрыв).

б) $f(x) = \begin{cases} 2-x & \text{при } x \le 1, \\ 2x-1 & \text{при } x > 1; \end{cases}$

1. Построение графика.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
При $x \le 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 2-x$. Это луч, который заканчивается в точке с абсциссой $x=1$. Ордината этой точки: $y(1) = 2-1 = 1$. Итак, одна часть графика — луч, заканчивающийся в точке $(1, 1)$.
При $x > 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 2x-1$. Это луч, начинающийся из точки с абсциссой $x=1$. На границе интервала, при $x \to 1^+$, значение функции стремится к $y = 2(1)-1 = 1$. Таким образом, вторая часть графика — это луч, выходящий из точки $(1, 1)$.

2. Анализ непрерывности.
Функции $y=2-x$ и $y=2x-1$ непрерывны на всей числовой оси. Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$.
Значение функции: $f(1) = 2 - 1 = 1$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2-x) = 2-1 = 1$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 2(1)-1 = 1$.
Так как значение функции в точке $x=1$ совпадает с левым и правым пределами ($f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$), функция непрерывна в этой точке.
Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График представляет собой ломаную, состоящую из двух лучей, сходящихся в точке $(1, 1)$. В области определения функции нет точек, в которых функция не является непрерывной.

в) $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{при } x < 1, \\ \frac{1}{x} & \text{при } x \ge 1; \end{cases}$

1. Построение графика.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
При $x < 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = x+2$. Это луч. На границе интервала, при $x \to 1^-$, значение функции стремится к $y = 1+2 = 3$. Конечная точка луча — "выколотая" точка $(1, 3)$.
При $x \ge 1$ график функции совпадает с графиком гиперболы $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой четверти, начинающаяся в точке с абсциссой $x=1$. Ордината этой точки: $y(1) = \frac{1}{1} = 1$. Начальная точка — $(1, 1)$.

2. Анализ непрерывности.
Функция $y=x+2$ непрерывна на всей числовой оси. Функция $y=\frac{1}{x}$ непрерывна везде, кроме точки $x=0$. Однако на интервале $[1, +\infty)$ эта функция непрерывна. Поэтому единственная возможная точка разрыва — это $x=1$.
Проверим непрерывность в точке $x=1$.
Значение функции: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+2) = 1+2 = 3$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы не равны ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=1$.
Точка $x=1$ принадлежит области определения функции.

Ответ: График состоит из луча прямой $y=x+2$ на интервале $(-\infty, 1)$ и части гиперболы $y=1/x$ на интервале $[1, +\infty)$. В области определения функции содержится точка $x=1$, в которой функция не является непрерывной (терпит разрыв).