Страница 107 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

191.— Вычислите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ в точке $x_0$, если:

a) $f (x) = 2x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x$ равно 0,5; 0,1; 0,01;

б) $f (x) = x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x$ равно 0,5; 0,1; 0,01.

а)

Для функции $f(x) = 2x^2$ и точки $x_0 = 1$ необходимо вычислить отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$. Формула для вычисления этого отношения имеет вид:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Далее найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 1 + \Delta x$:
$f(1 + \Delta x) = 2(1 + \Delta x)^2 = 2(1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) = 2 + 4\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = (2 + 4\Delta x + 2(\Delta x)^2) - 2 = 4\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

Найдем искомое отношение, разделив приращение функции на приращение аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4\Delta x + 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 4 + 2\Delta x$.

Теперь подставим заданные значения $\Delta x$ в полученное выражение:

1. При $\Delta x = 0,5$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 4 + 2 \cdot 0,5 = 4 + 1 = 5$.

2. При $\Delta x = 0,1$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 4 + 2 \cdot 0,1 = 4 + 0,2 = 4,2$.

3. При $\Delta x = 0,01$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 4 + 2 \cdot 0,01 = 4 + 0,02 = 4,02$.

Ответ: 5; 4,2; 4,02.

б)

Для функции $f(x) = x^2$ и точки $x_0 = 1$ вычислим $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ по той же формуле:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1$.

Далее найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 1 + \Delta x$:
$f(1 + \Delta x) = (1 + \Delta x)^2 = 1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2$.

Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = (1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 1 = 2\Delta x + (\Delta x)^2$.

Найдем искомое отношение, разделив приращение функции на приращение аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2 + \Delta x$.

Теперь подставим заданные значения $\Delta x$ в полученное выражение:

1. При $\Delta x = 0,5$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2 + 0,5 = 2,5$.

2. При $\Delta x = 0,1$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2 + 0,1 = 2,1$.

3. При $\Delta x = 0,01$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2 + 0,01 = 2,01$.

Ответ: 2,5; 2,1; 2,01.

192. К какому числу стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \rightarrow 0$, если

a) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 8x_0 + 4\Delta x$, $x_0$ равно 2; -1;

б) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$, $x_0$ равно 1; -21;

в) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -2x_0 + \Delta x$, $x_0$ равно 1; 2?

Чтобы найти, к какому числу стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$, необходимо вычислить предел данного выражения при $\Delta x \to 0$. Это по определению является нахождением производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а)

Дано отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 8x_0 + 4\Delta x$. Найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 + 4\Delta x)$

Когда $\Delta x$ стремится к нулю, слагаемое $4\Delta x$ также стремится к нулю. Поэтому предел равен: $\lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 + 4\Delta x) = 8x_0 + 4 \cdot 0 = 8x_0$.

Теперь вычислим значения этого предела для заданных $x_0$:
1. При $x_0 = 2$: предел равен $8 \cdot 2 = 16$.
2. При $x_0 = -1$: предел равен $8 \cdot (-1) = -8$.

Ответ: при $x_0=2$ отношение стремится к 16; при $x_0=-1$ — к -8.

б)

Дано отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$. Найдем его предел при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2)$

Когда $\Delta x$ стремится к нулю, слагаемые $3x_0\Delta x$ и $(\Delta x)^2$ также стремятся к нулю. Предел равен: $\lim_{\Delta x \to 0} (3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 3x_0^2 + 3x_0 \cdot 0 + 0^2 = 3x_0^2$.

Вычислим значения для заданных $x_0$:
1. При $x_0 = 1$: предел равен $3 \cdot 1^2 = 3$.
2. При $x_0 = -21$: предел равен $3 \cdot (-21)^2 = 3 \cdot 441 = 1323$.

Ответ: при $x_0=1$ отношение стремится к 3; при $x_0=-21$ — к 1323.

в)

Дано отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -2x_0 + \Delta x$. Найдем его предел при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-2x_0 + \Delta x)$

Когда $\Delta x$ стремится к нулю, слагаемое $\Delta x$ также стремится к нулю. Предел равен: $\lim_{\Delta x \to 0} (-2x_0 + \Delta x) = -2x_0 + 0 = -2x_0$.

Вычислим значения для заданных $x_0$:
1. При $x_0 = 1$: предел равен $-2 \cdot 1 = -2$.
2. При $x_0 = 2$: предел равен $-2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: при $x_0=1$ отношение стремится к -2; при $x_0=2$ — к -4.