Страница 106 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

188.— Постройте график функции $f$ и проведите к нему касательную, проходящую через точку с абсциссой $x_0$. Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касательной:

а) $f(x) = x^2 - 2x - 3, x_0 = 0, x_0 = 3, x_0 = 2, x_0 = -1;$

б) $f(x) = \frac{x^2}{2} + 1, x_0 = -2, x_0 = 1, x_0 = -1, x_0 = 2.$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки.

1. Вершина параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Ордината вершины: $y_в = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Таким образом, вершина находится в точке $(1, -4)$. На этом промежутке до $x=1$ функция убывает, а после $x=1$ — возрастает.

2. Точки пересечения с осями координат. С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = -3$. Точка $(0, -3)$. С осью Ox (при $f(x)=0$): $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни этого уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

Построив параболу по этим точкам, мы можем провести касательные в заданных точках $x_0$ и определить знак их углового коэффициента. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона касательной) положителен, если касательная направлена вверх при движении слева направо (функция возрастает), и отрицателен, если касательная направлена вниз (функция убывает).

Для $x_0 = 0$: Точка касания на графике имеет координаты $(0, -3)$. Поскольку $x_0 = 0 < 1$ (абсцисса вершины), функция в этой точке убывает. Касательная, проведенная в этой точке, будет наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

Для $x_0 = 3$: Точка касания — $(3, 0)$. Поскольку $x_0 = 3 > 1$, функция в этой точке возрастает. Касательная будет наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.

Для $x_0 = 2$: Найдем ординату точки: $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = -3$. Точка касания — $(2, -3)$. Поскольку $x_0 = 2 > 1$, функция в этой точке возрастает. Касательная будет наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.

Для $x_0 = -1$: Точка касания — $(-1, 0)$. Поскольку $x_0 = -1 < 1$, функция в этой точке убывает. Касательная будет наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2}{2} + 1$. Графиком этой функции также является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент $1/2 > 0$).

1. Вершина параболы. Функция представлена в виде $f(x) = ax^2+c$, поэтому ее вершина находится в точке $(0, c)$. В нашем случае вершина — $(0, 1)$. Парабола симметрична относительно оси Oy. До $x=0$ функция убывает, после $x=0$ — возрастает.

2. Точки для построения. При $x = \pm 1$, $f(\pm 1) = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$. Точки $(1, 1.5)$ и $(-1, 1.5)$. При $x = \pm 2$, $f(\pm 2) = \frac{4}{2} + 1 = 3$. Точки $(2, 3)$ и $(-2, 3)$. График не пересекает ось Ox.

Построив параболу по этим точкам, определим знак угловых коэффициентов касательных.

Для $x_0 = -2$: Точка касания — $(-2, 3)$. Поскольку $x_0 = -2 < 0$ (абсцисса вершины), функция в этой точке убывает. Касательная наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

Для $x_0 = 1$: Точка касания — $(1, 1.5)$. Поскольку $x_0 = 1 > 0$, функция в этой точке возрастает. Касательная наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.

Для $x_0 = -1$: Точка касания — $(-1, 1.5)$. Поскольку $x_0 = -1 < 0$, функция в этой точке убывает. Касательная наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

Для $x_0 = 2$: Точка касания — $(2, 3)$. Поскольку $x_0 = 2 > 0$, функция в этой точке возрастает. Касательная наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.

189. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции (рис. 85) через точки с абсциссой $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности каких точек график функции является «гладкой» кривой?

а) б) в) г) Рис. 85

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной: угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Знак углового коэффициента связан с поведением функции (возрастанием или убыванием) и углом, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

• Если функция возрастает (график идет вверх при движении слева направо), то ее производная положительна. Значит, угловой коэффициент касательной $k > 0$, а угол, который касательная образует с осью абсцисс, — острый (от 0° до 90°).
• Если функция убывает (график идет вниз), то ее производная отрицательна. Значит, угловой коэффициент касательной $k < 0$, а угол с осью абсцисс — тупой (от 90° до 180°).
• График функции является «гладкой» кривой в окрестности точки, если в этой точке существует единственная касательная. В точках «излома» или «острия» функция не является дифференцируемой, и касательную провести нельзя.

Проанализируем каждый из представленных графиков.

- В точке $x_1$: функция убывает. Следовательно, угловой коэффициент касательной отрицательный ($k_1 < 0$), а угол, образуемый касательной с осью абсцисс, — тупой.

- В точках $x_2$ и $x_3$: график имеет «острия» (точки излома). В этих точках функция недифференцируема, поэтому касательная не существует.

- В точке $x_4$: функция возрастает. Следовательно, угловой коэффициент касательной положительный ($k_4 > 0$), а угол с осью абсцисс — острый.

- График является «гладкой» кривой в окрестности точек, где существует касательная, то есть в окрестности точек $x_1$ и $x_4$.

Ответ: В точке $x_1$: знак углового коэффициента — минус ($k_1 < 0$), угол тупой. В точках $x_2$ и $x_3$: касательная не существует. В точке $x_4$: знак углового коэффициента — плюс ($k_4 > 0$), угол острый. График является «гладкой» кривой в окрестности точек $x_1$ и $x_4$.

- В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: на всем видимом участке функция возрастает.

- Следовательно, во всех этих точках угловые коэффициенты касательных положительны: $k_1 > 0$, $k_2 > 0$, $k_3 > 0$, $k_4 > 0$.

- Каждая из касательных образует с осью абсцисс острый угол.

- График на всем протяжении является гладкой кривой, поэтому он «гладкий» в окрестности всех указанных точек.

Ответ: В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: знаки угловых коэффициентов — плюсы ($k > 0$), углы острые. График является «гладкой» кривой в окрестности всех указанных точек.

- В точке $x_1$: функция убывает, поэтому угловой коэффициент $k_1 < 0$, а угол с осью абсцисс — тупой.

- В точке $x_2$: график имеет «излом», касательная в этой точке не существует.

- В точках $x_3$ и $x_4$: функция возрастает, поэтому угловые коэффициенты $k_3 > 0$ и $k_4 > 0$, а углы с осью абсцисс — острые.

- График является «гладкой» кривой в окрестности точек $x_1, x_3$ и $x_4$.

Ответ: В точке $x_1$: знак углового коэффициента — минус ($k_1 < 0$), угол тупой. В точке $x_2$: касательная не существует. В точках $x_3$ и $x_4$: знаки угловых коэффициентов — плюсы ($k_3 > 0, k_4 > 0$), углы острые. График является «гладкой» кривой в окрестности точек $x_1, x_3, x_4$.

- В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: на всем видимом участке функция убывает.

- Следовательно, во всех этих точках угловые коэффициенты касательных отрицательны: $k_1 < 0$, $k_2 < 0$, $k_3 < 0$, $k_4 < 0$.

- Каждая из касательных образует с осью абсцисс тупой угол.

- График на всем протяжении является гладкой кривой, поэтому он «гладкий» в окрестности всех указанных точек.

Ответ: В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: знаки угловых коэффициентов — минусы ($k < 0$), углы тупые. График является «гладкой» кривой в окрестности всех указанных точек.

190.- Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86). Определите знак углового коэффициента касательной в каждой из точек, отмеченных на графике.

Рис. 86

Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86).

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график идет вверх при движении слева направо (с увеличением аргумента x значение функции y увеличивается).
Из графика видно, что функция возрастает на промежутках: $ [a, b] $ и $ [c, d] $.

Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз (с увеличением аргумента x значение функции y уменьшается).
Из графика видно, что функция убывает на промежутках: $ [b, c] $ и $ [d, e] $.

Ответ: Промежутки возрастания: $ [a, b] $ и $ [c, d] $. Промежутки убывания: $ [b, c] $ и $ [d, e] $.

Определите знак углового коэффициента касательной в каждой из точек, отмеченных на графике.

Угловой коэффициент касательной ($k$) к графику функции в точке геометрически представляет собой тангенс угла наклона касательной. Его знак зависит от того, возрастает или убывает функция в данной точке:
• Если функция возрастает, касательная направлена вверх, и ее угловой коэффициент положителен ($k > 0$).
• Если функция убывает, касательная направлена вниз, и ее угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$).
• В точках экстремума (локальных максимумов и минимумов) касательная горизонтальна, и ее угловой коэффициент равен нулю ($k = 0$).

Проанализируем знак коэффициента в каждой из отмеченных точек:
- В точках $a$, $x_1$ и $x_3$ функция возрастает. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этих точках положительный (+).
- В точках $x_2$, $x_4$ и $e$ функция убывает. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этих точках отрицательный (−).
- Точки $b$, $c$ и $d$ являются точками экстремума (b и d — локальные максимумы, c — локальный минимум). Касательная в этих точках горизонтальна, поэтому ее угловой коэффициент равен нулю.

Ответ: в точках $a, x_1, x_3$ знак углового коэффициента — плюс (+); в точках $x_2, x_4, e$ знак — минус (−); в точках $b, c, d$ угловой коэффициент равен 0.