Номер 189, страница 106 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 189, страница 106.

Условие.

189. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции (рис. 85) через точки с абсциссой $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности каких точек график функции является «гладкой» кривой?

а) б) в) г) Рис. 85

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной: угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Знак углового коэффициента связан с поведением функции (возрастанием или убыванием) и углом, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

• Если функция возрастает (график идет вверх при движении слева направо), то ее производная положительна. Значит, угловой коэффициент касательной $k > 0$, а угол, который касательная образует с осью абсцисс, — острый (от 0° до 90°).
• Если функция убывает (график идет вниз), то ее производная отрицательна. Значит, угловой коэффициент касательной $k < 0$, а угол с осью абсцисс — тупой (от 90° до 180°).
• График функции является «гладкой» кривой в окрестности точки, если в этой точке существует единственная касательная. В точках «излома» или «острия» функция не является дифференцируемой, и касательную провести нельзя.

Проанализируем каждый из представленных графиков.

а)

- В точке $x_1$: функция убывает. Следовательно, угловой коэффициент касательной отрицательный ($k_1 < 0$), а угол, образуемый касательной с осью абсцисс, — тупой.

- В точках $x_2$ и $x_3$: график имеет «острия» (точки излома). В этих точках функция недифференцируема, поэтому касательная не существует.

- В точке $x_4$: функция возрастает. Следовательно, угловой коэффициент касательной положительный ($k_4 > 0$), а угол с осью абсцисс — острый.

- График является «гладкой» кривой в окрестности точек, где существует касательная, то есть в окрестности точек $x_1$ и $x_4$.

Ответ: В точке $x_1$: знак углового коэффициента — минус ($k_1 < 0$), угол тупой. В точках $x_2$ и $x_3$: касательная не существует. В точке $x_4$: знак углового коэффициента — плюс ($k_4 > 0$), угол острый. График является «гладкой» кривой в окрестности точек $x_1$ и $x_4$.

б)

- В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: на всем видимом участке функция возрастает.

- Следовательно, во всех этих точках угловые коэффициенты касательных положительны: $k_1 > 0$, $k_2 > 0$, $k_3 > 0$, $k_4 > 0$.

- Каждая из касательных образует с осью абсцисс острый угол.

- График на всем протяжении является гладкой кривой, поэтому он «гладкий» в окрестности всех указанных точек.

Ответ: В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: знаки угловых коэффициентов — плюсы ($k > 0$), углы острые. График является «гладкой» кривой в окрестности всех указанных точек.

в)

- В точке $x_1$: функция убывает, поэтому угловой коэффициент $k_1 < 0$, а угол с осью абсцисс — тупой.

- В точке $x_2$: график имеет «излом», касательная в этой точке не существует.

- В точках $x_3$ и $x_4$: функция возрастает, поэтому угловые коэффициенты $k_3 > 0$ и $k_4 > 0$, а углы с осью абсцисс — острые.

- График является «гладкой» кривой в окрестности точек $x_1, x_3$ и $x_4$.

Ответ: В точке $x_1$: знак углового коэффициента — минус ($k_1 < 0$), угол тупой. В точке $x_2$: касательная не существует. В точках $x_3$ и $x_4$: знаки угловых коэффициентов — плюсы ($k_3 > 0, k_4 > 0$), углы острые. График является «гладкой» кривой в окрестности точек $x_1, x_3, x_4$.

г)

- В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: на всем видимом участке функция убывает.

- Следовательно, во всех этих точках угловые коэффициенты касательных отрицательны: $k_1 < 0$, $k_2 < 0$, $k_3 < 0$, $k_4 < 0$.

- Каждая из касательных образует с осью абсцисс тупой угол.

- График на всем протяжении является гладкой кривой, поэтому он «гладкий» в окрестности всех указанных точек.

Ответ: В точках $x_1, x_2, x_3, x_4$: знаки угловых коэффициентов — минусы ($k < 0$), углы тупые. График является «гладкой» кривой в окрестности всех указанных точек.