Номер 196, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 196, страница 108.

Условие.

196. Пользуясь определением, найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону $x(t)$, в момент $t_0$:

а) $x(t) = -t^2 + 8t$, $t_0 = 6$;

б) $x(t) = 3t^3 + 2$, $t_0 = 2$;

в) $x(t) = \frac{t^2}{4}$, $t_0 = 4$;

г) $x(t) = 5t - 3$, $t_0 = 10$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Мгновенная скорость $v(t_0)$ точки, движущейся по закону $x(t)$, в момент времени $t_0$ находится как производная функции $x(t)$ в точке $t_0$. Согласно определению производной, мгновенная скорость вычисляется по формуле:

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}$

а) $x(t) = -t^2 + 8t$, $t_0 = 6$

1. Найдем приращение функции $\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)$ в точке $t_0=6$.

Сначала вычислим значение функции в точке $t_0=6$:

$x(6) = -6^2 + 8 \cdot 6 = -36 + 48 = 12$.

Теперь вычислим значение функции в точке $t_0 + \Delta t = 6 + \Delta t$:

$x(6 + \Delta t) = -(6 + \Delta t)^2 + 8(6 + \Delta t) = -(36 + 12\Delta t + (\Delta t)^2) + 48 + 8\Delta t = -36 - 12\Delta t - (\Delta t)^2 + 48 + 8\Delta t = 12 - 4\Delta t - (\Delta t)^2$.

Приращение функции равно:

$\Delta x = x(6 + \Delta t) - x(6) = (12 - 4\Delta t - (\Delta t)^2) - 12 = -4\Delta t - (\Delta t)^2$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(6) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{-4\Delta t - (\Delta t)^2}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t(-4 - \Delta t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (-4 - \Delta t) = -4$.

Ответ: -4

б) $x(t) = 3t^3 + 2$, $t_0 = 2$

1. Найдем приращение функции $\Delta x$ в точке $t_0=2$.

$x(2) = 3 \cdot 2^3 + 2 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26$.

$x(2 + \Delta t) = 3(2 + \Delta t)^3 + 2 = 3(2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \Delta t + 3 \cdot 2 \cdot (\Delta t)^2 + (\Delta t)^3) + 2 = 3(8 + 12\Delta t + 6(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3) + 2 = 24 + 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3 + 2 = 26 + 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3$.

$\Delta x = x(2 + \Delta t) - x(2) = (26 + 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3) - 26 = 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(2) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t(36 + 18\Delta t + 3(\Delta t)^2)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (36 + 18\Delta t + 3(\Delta t)^2) = 36$.

Ответ: 36

в) $x(t) = \frac{t^2}{4}$, $t_0 = 4$

1. Найдем приращение функции $\Delta x$ в точке $t_0=4$.

$x(4) = \frac{4^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

$x(4 + \Delta t) = \frac{(4 + \Delta t)^2}{4} = \frac{16 + 8\Delta t + (\Delta t)^2}{4} = 4 + 2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}$.

$\Delta x = x(4 + \Delta t) - x(4) = (4 + 2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}) - 4 = 2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(4) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t(2 + \frac{\Delta t}{4})}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2 + \frac{\Delta t}{4}) = 2$.

Ответ: 2

г) $x(t) = 5t - 3$, $t_0 = 10$

1. Найдем приращение функции $\Delta x$ в точке $t_0=10$.

$x(10) = 5 \cdot 10 - 3 = 50 - 3 = 47$.

$x(10 + \Delta t) = 5(10 + \Delta t) - 3 = 50 + 5\Delta t - 3 = 47 + 5\Delta t$.

$\Delta x = x(10 + \Delta t) - x(10) = (47 + 5\Delta t) - 47 = 5\Delta t$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(10) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{5\Delta t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} 5 = 5$.

Ответ: 5