Номер 197, страница 111 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 197, страница 111.

Условие.

197. - Является ли непрерывной в каждой из точек $x_1, x_2, x_3$ функция, график которой изображен на рисунке 87?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку изображение графика функции (рисунок 87) отсутствует, невозможно дать однозначный ответ для конкретных точек $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Однако, ниже представлено развернутое объяснение того, как определить непрерывность функции в точке по ее графику. Вы сможете использовать это руководство для самостоятельного анализа, как только у вас будет изображение графика.

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x = a$, если выполняются три условия:

1. Функция определена в этой точке, то есть существует значение $f(a)$. На графике это обычно обозначается закрашенной точкой $(a, f(a))$.
2. Существует предел функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to a} f(x)$ существует. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. Графически это значит, что при приближении к точке $a$ слева и справа, график стремится к одной и той же высоте (одному и тому же значению по оси Y).
3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Проще говоря, функция непрерывна в точке, если ее график в этой точке является сплошной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Если в точке есть "прокол" (выколотая точка), "скачок" или график уходит в бесконечность (вертикальная асимптота), то функция в этой точке разрывна.

Анализ непрерывности в точке $x_1$

Чтобы определить, является ли функция непрерывной в точке $x_1$, необходимо проанализировать ее график в окрестности этой точки:

1. Посмотрите на график в точке $x_1$. Есть ли там закрашенная точка? Если да, то функция определена в этой точке и условие 1 выполнено. Если точка выколота (пустой кружок), то функция не определена и, следовательно, разрывна.
2. Посмотрите, куда "идет" график слева и справа от $x_1$. Если ветви графика слева и справа от $x_1$ сходятся в одной и той же точке по высоте, то предел существует (условие 2 выполнено). Если они подходят к разным высотам (график делает "скачок"), то предел не существует, и функция разрывна.
3. Сравните предел и значение функции. Если оба предыдущих условия выполнены, сравните точку, в которой сходится график (предел), и положение закрашенной точки (значение функции). Если они совпадают, то функция непрерывна. Если предел существует, но значение функции в этой точке другое или не определено (случай "прокола" или "выколотой точки"), то функция разрывна.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_1$, если ее график в этой точке является сплошной линией. Если в точке $x_1$ есть разрыв любого вида (скачок, прокол), то функция не является непрерывной в этой точке. Необходимо изучить рисунок 87 для получения конкретного ответа.

Анализ непрерывности в точке $x_2$

Анализ для точки $x_2$ проводится аналогично анализу для точки $x_1$. Нужно последовательно проверить три условия непрерывности, изучая поведение графика функции вблизи $x_2$.

1. Наличие $f(x_2)$: ищем закрашенную точку на вертикальной линии $x=x_2$.
2. Существование предела $\lim_{x \to x_2} f(x)$: сравниваем, к какой высоте стремится график при приближении к $x_2$ слева и справа.
3. Равенство предела и значения функции: сверяем, совпадает ли точка схождения графика со значением функции в точке $x_2$.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_2$, если ее график в этой точке является сплошной линией. Если в точке $x_2$ есть разрыв любого вида (скачок, прокол), то функция не является непрерывной в этой точке. Необходимо изучить рисунок 87 для получения конкретного ответа.

Анализ непрерывности в точке $x_3$

Анализ для точки $x_3$ проводится по тому же алгоритму, что и для предыдущих точек.

1. Наличие $f(x_3)$: ищем закрашенную точку на вертикальной линии $x=x_3$.
2. Существование предела $\lim_{x \to x_3} f(x)$: сравниваем, к какой высоте стремится график при приближении к $x_3$ слева и справа.
3. Равенство предела и значения функции: сверяем, совпадает ли точка схождения графика со значением функции в точке $x_3$.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_3$, если ее график в этой точке является сплошной линией. Если в точке $x_3$ есть разрыв любого вида (скачок, прокол), то функция не является непрерывной в этой точке. Необходимо изучить рисунок 87 для получения конкретного ответа.