Номер 193, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 193, страница 108.

Условие.

193. — Используя формулы дифференцирования, полученные в п. 13, найдите производную функции $f$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = x^3$, $x_0$ равно 2; -1,5;

б) $f(x) = 4 - 2x$, $x_0$ равно 0,5; -3;

в) $f(x) = 3x - 2$, $x_0$ равно 5; -2;

г) $f(x) = x^2$, $x_0$ равно 2,5; -1.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = x^3$. Для нахождения производной воспользуемся формулой дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Теперь вычислим значение производной в заданных точках $x_0$.

При $x_0 = 2$:

$f'(2) = 3 \cdot (2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$.

При $x_0 = -1,5$:

$f'(-1,5) = 3 \cdot (-1,5)^2 = 3 \cdot 2,25 = 6,75$.

Ответ: $12$; $6,75$.

б) Дана функция $f(x) = 4 - 2x$. Для нахождения производной используем правила дифференцирования: производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных, производная константы равна нулю, а $(kx)' = k$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (4 - 2x)' = (4)' - (2x)' = 0 - 2 = -2$.

Поскольку производная является константой, ее значение не зависит от точки $x_0$.

При $x_0 = 0,5$:

$f'(0,5) = -2$.

При $x_0 = -3$:

$f'(-3) = -2$.

Ответ: $-2$; $-2$.

в) Дана функция $f(x) = 3x - 2$. Найдем ее производную, используя те же правила, что и в предыдущем пункте.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (3x - 2)' = (3x)' - (2)' = 3 - 0 = 3$.

Производная является константой, ее значение одинаково для любой точки.

При $x_0 = 5$:

$f'(5) = 3$.

При $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 3$.

Ответ: $3$; $3$.

г) Дана функция $f(x) = x^2$. Найдем ее производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Теперь вычислим значение производной в заданных точках $x_0$.

При $x_0 = 2,5$:

$f'(2,5) = 2 \cdot 2,5 = 5$.

При $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ: $5$; $-2$.