Номер 187, страница 101 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 187, страница 101.

Условие.

187. Найдите среднюю скорость точки, движущейся по прямой, за промежуток времени $ [t_0; t_0 + \Delta t] $, если известен закон движения:

а) $x(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2};$

б) $x(t) = -at + b;$

в) $x(t) = \frac{gt^2}{2};$

г) $x(t) = at - b.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Средняя скорость $v_{ср}$ — это отношение приращения координаты $\Delta x$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это приращение произошло. По определению, средняя скорость на промежутке времени $[t_0, t_0 + \Delta t]$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{(t_0 + \Delta t) - t_0} = \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}$

Применим эту формулу для каждого из заданных законов движения.

а) Дан закон движения $x(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.

1. Найдем координату точки в начальный момент времени $t_0$:

$x(t_0) = v_0 t_0 - \frac{gt_0^2}{2}$

2. Найдем координату точки в конечный момент времени $t_0 + \Delta t$:

$x(t_0 + \Delta t) = v_0(t_0 + \Delta t) - \frac{g(t_0 + \Delta t)^2}{2}$

Раскроем скобки:

$x(t_0 + \Delta t) = v_0 t_0 + v_0 \Delta t - \frac{g(t_0^2 + 2t_0\Delta t + (\Delta t)^2)}{2} = v_0 t_0 + v_0 \Delta t - \frac{gt_0^2}{2} - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

3. Вычислим приращение координаты $\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)$:

$\Delta x = \left(v_0 t_0 + v_0 \Delta t - \frac{gt_0^2}{2} - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}\right) - \left(v_0 t_0 - \frac{gt_0^2}{2}\right)$

$\Delta x = v_0 \Delta t - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

4. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{v_0 \Delta t - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}}{\Delta t} = v_0 - gt_0 - \frac{g\Delta t}{2}$

Ответ: $v_{ср} = v_0 - gt_0 - \frac{g\Delta t}{2}$

б) Дан закон движения $x(t) = -at + b$.

1. Найдем приращение координаты $\Delta x$:

$\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0) = (-a(t_0 + \Delta t) + b) - (-at_0 + b)$

$\Delta x = -at_0 - a\Delta t + b + at_0 - b = -a\Delta t$

2. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-a\Delta t}{\Delta t} = -a$

Ответ: $v_{ср} = -a$

в) Дан закон движения $x(t) = \frac{gt^2}{2}$.

1. Найдем приращение координаты $\Delta x$:

$\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0) = \frac{g(t_0 + \Delta t)^2}{2} - \frac{gt_0^2}{2}$

$\Delta x = \frac{g(t_0^2 + 2t_0\Delta t + (\Delta t)^2)}{2} - \frac{gt_0^2}{2} = \frac{gt_0^2}{2} + gt_0\Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2} - \frac{gt_0^2}{2}$

$\Delta x = gt_0\Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

2. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{gt_0\Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2}}{\Delta t} = gt_0 + \frac{g\Delta t}{2}$

Ответ: $v_{ср} = gt_0 + \frac{g\Delta t}{2}$

г) Дан закон движения $x(t) = at - b$.

1. Найдем приращение координаты $\Delta x$:

$\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0) = (a(t_0 + \Delta t) - b) - (at_0 - b)$

$\Delta x = at_0 + a\Delta t - b - at_0 + b = a\Delta t$

2. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{a\Delta t}{\Delta t} = a$

Ответ: $v_{ср} = a$