Номер 182, страница 100 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 182, страница 100.

Условие.

182. Точка движется по координатной прямой, причем в любой момент времени $t$ ее координата равна $3 + 12t - t^2$.

На сколько и в каком направлении переместится точка за промежуток $I$ времени:

а) $[2; 2,5]$;

б) $[7; 8]$;

в) $[4; 5]$;

г) $[6; 8]$?

Чему равна ее средняя скорость за промежуток $I$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Закон движения точки задан уравнением координаты $x(t) = 3 + 12t - t^2$.

Чтобы найти, на сколько и в каком направлении переместится точка за промежуток времени $I = [t_1; t_2]$, нужно вычислить перемещение $\Delta x = x(t_2) - x(t_1)$.

• Если $\Delta x > 0$, точка переместилась в положительном направлении на величину $|\Delta x|$.
• Если $\Delta x < 0$, точка переместилась в отрицательном направлении на величину $|\Delta x|$.

Средняя скорость за этот же промежуток времени вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$

а) Для промежутка времени $I = [2; 2,5]$.

Начальный момент времени $t_1 = 2$, конечный $t_2 = 2,5$.

Найдем координаты точки в эти моменты:

$x(2) = 3 + 12 \cdot 2 - 2^2 = 3 + 24 - 4 = 23$.

$x(2,5) = 3 + 12 \cdot 2,5 - (2,5)^2 = 3 + 30 - 6,25 = 26,75$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(2,5) - x(2) = 26,75 - 23 = 3,75$.

Поскольку $\Delta x > 0$, перемещение произошло на 3,75 единицы в положительном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 2,5 - 2 = 0,5$.

$v_{ср} = \frac{3,75}{0,5} = 7,5$.

Ответ: Точка переместится на 3,75 в положительном направлении; средняя скорость равна 7,5.

б) Для промежутка времени $I = [7; 8]$.

Начальный момент времени $t_1 = 7$, конечный $t_2 = 8$.

Найдем координаты точки:

$x(7) = 3 + 12 \cdot 7 - 7^2 = 3 + 84 - 49 = 38$.

$x(8) = 3 + 12 \cdot 8 - 8^2 = 3 + 96 - 64 = 35$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(8) - x(7) = 35 - 38 = -3$.

Поскольку $\Delta x < 0$, перемещение произошло на 3 единицы в отрицательном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 8 - 7 = 1$.

$v_{ср} = \frac{-3}{1} = -3$.

Ответ: Точка переместится на 3 в отрицательном направлении; средняя скорость равна -3.

в) Для промежутка времени $I = [4; 5]$.

Начальный момент времени $t_1 = 4$, конечный $t_2 = 5$.

Найдем координаты точки:

$x(4) = 3 + 12 \cdot 4 - 4^2 = 3 + 48 - 16 = 35$.

$x(5) = 3 + 12 \cdot 5 - 5^2 = 3 + 60 - 25 = 38$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(5) - x(4) = 38 - 35 = 3$.

Поскольку $\Delta x > 0$, перемещение произошло на 3 единицы в положительном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 5 - 4 = 1$.

$v_{ср} = \frac{3}{1} = 3$.

Ответ: Точка переместится на 3 в положительном направлении; средняя скорость равна 3.

г) Для промежутка времени $I = [6; 8]$.

Начальный момент времени $t_1 = 6$, конечный $t_2 = 8$.

Найдем координаты точки:

$x(6) = 3 + 12 \cdot 6 - 6^2 = 3 + 72 - 36 = 39$.

$x(8) = 3 + 12 \cdot 8 - 8^2 = 3 + 96 - 64 = 35$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(8) - x(6) = 35 - 39 = -4$.

Поскольку $\Delta x < 0$, перемещение произошло на 4 единицы в отрицательном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 8 - 6 = 2$.

$v_{ср} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: Точка переместится на 4 в отрицательном направлении; средняя скорость равна -2.