Номер 179, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 179, страница 99.

Условие.

179. Найдите приращения $\Delta x$ и $\Delta f$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = \cos^2 x$, $x_0 = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{3\pi}{4}$;

б) $f(x) = 4x - x^2$, $x_0 = 2,5$, $x = 2,6$;

в) $f(x) = \operatorname{tg} x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$;

г) $f(x) = \sqrt{2x-1}$, $x_0 = 1,22$, $x = 1,345$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = \cos^2 x$, начальная точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ и конечная точка $x = \frac{3\pi}{4}$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$. Приращение аргумента равно разности между конечным и начальным значениями $x$.

$\Delta x = x - x_0 = \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\Delta x = \frac{3\pi \cdot 3}{12} - \frac{2\pi \cdot 4}{12} = \frac{9\pi - 8\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$. Приращение функции равно разности значений функции в конечной и начальной точках.

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = \cos^2(x) - \cos^2(x_0)$

Подставим значения $x$ и $x_0$:

$\Delta f = \cos^2(\frac{3\pi}{4}) - \cos^2(\frac{2\pi}{3})$

Вычислим значения косинусов в этих точках:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\Delta f$:

$\Delta f = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (-\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$, $\Delta f = \frac{1}{4}$.

б) Дана функция $f(x) = 4x - x^2$, начальная точка $x_0 = 2,5$ и конечная точка $x = 2,6$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$.

$\Delta x = x - x_0 = 2,6 - 2,5 = 0,1$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$.

$\Delta f = f(x) - f(x_0)$

Сначала вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x$:

$f(x_0) = f(2,5) = 4(2,5) - (2,5)^2 = 10 - 6,25 = 3,75$

$f(x) = f(2,6) = 4(2,6) - (2,6)^2 = 10,4 - 6,76 = 3,64$

Теперь найдем разность этих значений:

$\Delta f = 3,64 - 3,75 = -0,11$

Ответ: $\Delta x = 0,1$, $\Delta f = -0,11$.

в) Дана функция $f(x) = \tg x$, начальная точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$ и конечная точка $x = \frac{\pi}{3}$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$.

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\Delta x = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$.

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = \tg(x) - \tg(x_0)$

Подставим значения $x$ и $x_0$:

$\Delta f = \tg(\frac{\pi}{3}) - \tg(\frac{\pi}{4})$

Используем известные значения тангенсов:

$\tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$

Тогда:

$\Delta f = \sqrt{3} - 1$

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$, $\Delta f = \sqrt{3} - 1$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x-1}$, начальная точка $x_0 = 1,22$ и конечная точка $x = 1,345$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$.

$\Delta x = x - x_0 = 1,345 - 1,22 = 0,125$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$.

$\Delta f = f(x) - f(x_0)$

Сначала вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x$:

$f(x_0) = f(1,22) = \sqrt{2(1,22) - 1} = \sqrt{2,44 - 1} = \sqrt{1,44} = 1,2$

$f(x) = f(1,345) = \sqrt{2(1,345) - 1} = \sqrt{2,69 - 1} = \sqrt{1,69} = 1,3$

Теперь найдем разность этих значений:

$\Delta f = 1,3 - 1,2 = 0,1$

Ответ: $\Delta x = 0,125$, $\Delta f = 0,1$.