Номер 23, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 23, страница 96.

Условие.

23. 1) Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$.

2) Решите уравнение:

а) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$;

б) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$;

в) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$;

г) $2 \cos x - 1 = 0$.

Решение 5.

1) Общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:
Для уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, общее решение:
$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Для уравнения $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, общее решение:
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Для уравнения $\operatorname{tg} x = a$, где $a \in \mathbb{R}$, общее решение:
$x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) Решение уравнений:

а) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$
Сначала выразим $\cos x$:
$2 \cos x = -\sqrt{3}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь используем общую формулу для косинуса $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арккосинуса для отрицательного аргумента вычисляется по формуле $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$
Выразим $\operatorname{tg} x$:
$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1$
$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Используем общую формулу для тангенса $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арктангенса для отрицательного аргумента вычисляется по формуле $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
$\operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$
Выразим $\sin x$:
$2 \sin x = \sqrt{2}$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Используем общую формулу для синуса $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арксинуса $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \cos x - 1 = 0$
Выразим $\cos x$:
$2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Используем общую формулу для косинуса $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арккосинуса $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.