Номер 23, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 23, страница 96.
№23 (с. 96)
Условие. №23 (с. 96)
скриншот условия

23. 1) Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$.
2) Решите уравнение:
а) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$;
б) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$;
в) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$;
г) $2 \cos x - 1 = 0$.
Решение 5. №23 (с. 96)
1) Общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:
Для уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, общее решение:
$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Для уравнения $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, общее решение:
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Для уравнения $\operatorname{tg} x = a$, где $a \in \mathbb{R}$, общее решение:
$x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) Решение уравнений:
а) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$
Сначала выразим $\cos x$:
$2 \cos x = -\sqrt{3}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь используем общую формулу для косинуса $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арккосинуса для отрицательного аргумента вычисляется по формуле $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$
Выразим $\operatorname{tg} x$:
$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1$
$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Используем общую формулу для тангенса $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арктангенса для отрицательного аргумента вычисляется по формуле $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
$\operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$
Выразим $\sin x$:
$2 \sin x = \sqrt{2}$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Используем общую формулу для синуса $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арксинуса $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
г) $2 \cos x - 1 = 0$
Выразим $\cos x$:
$2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Используем общую формулу для косинуса $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арккосинуса $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 23 расположенного на странице 96 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №23 (с. 96), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.