Номер 202, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 202, страница 112.

Условие.

202. Известно, что $f(x) \to 3$, $g(x) \to -0,5$ при $x \to -1$. Найдите число, к которому при $x \to -1$ стремится функция:

а) $\frac{f(x)}{(g(x))^2}$;

б) $(f(x) - g(x))^2$;

в) $(f(x))^2 + 2g(x);

г) $\frac{(g(x))^2}{f(x)-2}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами (теоремами) о пределах функций. Нам дано, что предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к $-1$, равен 3, а предел функции $g(x)$ при $x$, стремящемся к $-1$, равен $-0,5$. Запишем это в виде формул:

$\lim_{x \to -1} f(x) = 3$

$\lim_{x \to -1} g(x) = -0,5$

Теперь найдём пределы для каждой из предложенных функций.

а) Найдём предел функции $\frac{f(x)}{(g(x))^2}$ при $x \to -1$.

Согласно свойству о пределе частного, предел частного двух функций равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю. Также, согласно свойству о пределе степени, предел степени функции равен той же степени предела функции.

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(g(x))^2} = \frac{\lim_{x \to -1} f(x)}{\lim_{x \to -1} (g(x))^2} = \frac{\lim_{x \to -1} f(x)}{(\lim_{x \to -1} g(x))^2}$

Подставим известные значения пределов:

$\frac{3}{(-0,5)^2} = \frac{3}{0,25} = 12$

Ответ: 12

б) Найдём предел функции $(f(x) - g(x))^2$ при $x \to -1$.

Используем свойства предела степени и предела разности:

$\lim_{x \to -1} (f(x) - g(x))^2 = \left(\lim_{x \to -1} (f(x) - g(x))\right)^2 = \left(\lim_{x \to -1} f(x) - \lim_{x \to -1} g(x)\right)^2$

Подставим известные значения пределов:

$(3 - (-0,5))^2 = (3 + 0,5)^2 = (3,5)^2 = 12,25$

Ответ: 12,25

в) Найдём предел функции $(f(x))^2 + 2g(x)$ при $x \to -1$.

Используем свойства предела суммы, предела степени и вынесения константы за знак предела:

$\lim_{x \to -1} ((f(x))^2 + 2g(x)) = \lim_{x \to -1} (f(x))^2 + \lim_{x \to -1} (2g(x)) = (\lim_{x \to -1} f(x))^2 + 2 \cdot \lim_{x \to -1} g(x)$

Подставим известные значения пределов:

$3^2 + 2 \cdot (-0,5) = 9 - 1 = 8$

Ответ: 8

г) Найдём предел функции $\frac{(g(x))^2}{f(x) - 2}$ при $x \to -1$.

Сначала проверим предел знаменателя: $\lim_{x \to -1} (f(x) - 2) = \lim_{x \to -1} f(x) - 2 = 3 - 2 = 1$. Так как предел знаменателя не равен нулю, мы можем применить свойство о пределе частного.

$\lim_{x \to -1} \frac{(g(x))^2}{f(x) - 2} = \frac{\lim_{x \to -1} (g(x))^2}{\lim_{x \to -1} (f(x) - 2)} = \frac{(\lim_{x \to -1} g(x))^2}{\lim_{x \to -1} f(x) - 2}$

Подставим известные значения пределов:

$\frac{(-0,5)^2}{3 - 2} = \frac{0,25}{1} = 0,25$

Ответ: 0,25