Номер 203, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 203, страница 112.

Условие.

203.— К какому числу стремится функция:

а) $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3}$ при $x \to 4$;

б) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 2x + 7}$ при $x \to -1$;

в) $f(x) = \frac{5 - 2x}{2 + x}$ при $x \to 2$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ при $x \to -1?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти, к какому числу стремится функция $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3}$ при $x \to 4$, необходимо найти предел этой функции при $x$, стремящемся к 4.
Поскольку функция является рациональной и точка $x = 4$ входит в её область определения (знаменатель не равен нулю в этой точке), предел можно найти путём прямой подстановки значения $x = 4$ в функцию.
$ \lim_{x \to 4} \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3} = \frac{4^2 + 3 \cdot 4 + 2}{4 - 3} = \frac{16 + 12 + 2}{1} = \frac{30}{1} = 30 $.
Ответ: 30

б) Найдём предел функции $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 2x + 7}$ при $x \to -1$.
Данная функция непрерывна в точке $x = -1$, так как её знаменатель не обращается в ноль при этом значении: $(-1)^2 - 2(-1) + 7 = 1 + 2 + 7 = 10 \neq 0$.
Следовательно, для нахождения предела достаточно подставить значение $x = -1$ в выражение функции.
$ \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 2x + 7} = \frac{(-1)^3 - 3(-1)}{(-1)^2 - 2(-1) + 7} = \frac{-1 + 3}{1 + 2 + 7} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.
Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Найдём предел функции $f(x) = \frac{5 - 2x}{2 + x}$ при $x \to 2$.
Функция непрерывна в точке $x = 2$, так как знаменатель не равен нулю при $x=2$: $2 + 2 = 4 \neq 0$.
Вычисляем предел методом прямой подстановки.
$ \lim_{x \to 2} \frac{5 - 2x}{2 + x} = \frac{5 - 2 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{5 - 4}{4} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $\frac{1}{4}$

г) Найдём, к какому числу стремится функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ при $x \to -1$.
Знаменатель функции $x + 3$ в точке $x = -1$ не равен нулю: $-1 + 3 = 2 \neq 0$. Таким образом, функция непрерывна в этой точке.
Для вычисления предела подставим значение $x = -1$ в функцию.
$ \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(-1)^2 - 9}{-1 + 3} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $.
Ответ: -4