Страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

220.—

а) $h(x) = \cos 3x;$

б) $h(x) = \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right);$

в) $h(x) = \text{tg} \frac{x}{2};$

г) $h(x) = \cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right).$

а)

Наименьший положительный период для функции вида $y = A \cos(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В заданной функции $h(x) = \cos 3x$ коэффициент при переменной $x$ равен $k=3$. Подставляем значение коэффициента в формулу для нахождения периода: $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

б)

Наименьший положительный период для функции вида $y = A \sin(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В заданной функции $h(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ коэффициент при $x$ равен $k=2$. Фазовый сдвиг на $-\frac{\pi}{3}$ не влияет на период функции. Таким образом, период равен: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

в)

Наименьший положительный период для функции вида $y = A \text{tg}(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В заданной функции $h(x) = \text{tg} \frac{x}{2}$, которую можно записать как $h(x) = \text{tg}(\frac{1}{2}x)$, коэффициент при $x$ равен $k=\frac{1}{2}$. Следовательно, период функции равен: $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

г)

Наименьший положительный период для функции вида $y = A \cos(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В заданной функции $h(x) = \cos(3x + \frac{\pi}{4})$ коэффициент при $x$ равен $k=3$. Фазовый сдвиг на $+\frac{\pi}{4}$ не влияет на период функции. Таким образом, период равен: $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

221. a) $h(x) = (3 - 5x)^5$;

б) $h(x) = \sqrt{\cos x}$;

в) $h(x) = (2x + 1)^7$;

г) $h(x) = \operatorname{tg} \frac{1}{x}$.

а) $h(x) = (3 - 5x)^5$

Для нахождения производной данной сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^5$, а внутренняя функция — линейная $g(x) = 3 - 5x$.

Сначала найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^5)' = 5u^4$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (3 - 5x)' = -5$.

Теперь, согласно цепному правилу, умножим производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(3 - 5x)^4 \cdot (-5) = -25(3 - 5x)^4$.

Ответ: $h'(x) = -25(3 - 5x)^4$.

б) $h(x) = \sqrt{\cos x}$

Эта функция также является сложной. Внешняя функция — это квадратный корень $f(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя — косинус $g(x) = \cos x$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применим цепное правило:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$.

Ответ: $h'(x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$.

в) $h(x) = (2x + 1)^7$

Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $f(u) = u^7$, а внутренняя — линейная $g(x) = 2x + 1$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^7)' = 7u^6$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x + 1)' = 2$.

По цепному правилу, производная исходной функции равна:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 7(2x + 1)^6 \cdot 2 = 14(2x + 1)^6$.

Ответ: $h'(x) = 14(2x + 1)^6$.

г) $h(x) = \operatorname{tg} \frac{1}{x}$

Это сложная функция. Внешняя функция — тангенс $f(u) = \operatorname{tg} u$, а внутренняя — $g(x) = \frac{1}{x}$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Применяя цепное правило, получаем:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{1}{x})} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2 \cos^2(\frac{1}{x})}$.

Ответ: $h'(x) = -\frac{1}{x^2 \cos^2(\frac{1}{x})}$.

Найдите область определения каждой из функций (222–223).

222. а) $y = \sqrt{9 - x^2}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 7x + 12}};

в) $y = \sqrt{0,25 - x^2};

г) $y = \frac{1}{\sqrt{4x + 5 - x^2}}.

а) Область определения функции $y = \sqrt{9 - x^2}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$9 - x^2 \geq 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть:

$9 \geq x^2$ или $x^2 \leq 9$

Это неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x \leq 3 \\ x \geq -3 \end{cases}$

Следовательно, область определения функции представляет собой отрезок.
Ответ: $x \in [-3, 3]$.

б) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго положительным.

$x^2 - 7x + 12 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 7x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов.
Ответ: $(-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{0,25 - x^2}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$0,25 - x^2 \geq 0$

$x^2 \leq 0,25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|x| \leq 0,5$

Это неравенство эквивалентно $-0,5 \leq x \leq 0,5$.

Область определения функции представляет собой отрезок.
Ответ: $x \in [-0,5, 0,5]$.

г) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{4x + 5 - x^2}}$ задается условием, что выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным.

$4x + 5 - x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.

223.-

а) $y = \sqrt{\cos x};$

б) $y = \frac{1}{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)};$

в) $y = \operatorname{tg} 2x;$

г) $y = \sqrt{\sin x}.$

а) Для функции $y = \sqrt{\cos x}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\cos x \ge 0$
Это неравенство справедливо для углов $x$, находящихся в I и IV координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Учитывая, что период функции косинус равен $2\pi$, общее решение неравенства записывается в виде:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $y = \frac{1}{\sin(x - \frac{\pi}{6})}$ область определения находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \neq 0$
Функция синус обращается в ноль, когда её аргумент равен $\pi k$, где $k$ является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, $x - \frac{\pi}{6} \neq \pi k$.
Выражая $x$, получаем:
$x \neq \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Функция тангенса $y = \tg 2x$ определяется как отношение $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$. Её область определения задается условием, что знаменатель не равен нулю:
$\cos 2x \neq 0$
Функция косинус обращается в ноль, когда её аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m$ является любым целым числом ($m \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$.
Разделив обе части неравенства на 2, находим $x$:
$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

г) Для функции $y = \sqrt{\sin x}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\sin x \ge 0$
Это неравенство справедливо для углов $x$, находящихся в I и II координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[0, \pi]$.
Учитывая, что период функции синус равен $2\pi$, общее решение неравенства записывается в виде:
$2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

Найдите производные функций (224—225).

224. а) $f(x) = (2x - 7)^8;$

б) $f(x) = \frac{1}{(5x + 1)^3};$

в) $f(x) = (9x + 5)^4;$

г) $f(x) = \frac{1}{(6x - 1)^5}.$

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Если функция имеет вид $f(x) = g(h(x))$, то ее производная равна $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В частности, для степенной функции $y = (u(x))^n$, производная находится по формуле: $y' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$.

а) Дана функция $f(x) = (2x - 7)^8$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 2x - 7$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^8$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (2x - 7)' = 2$.
Теперь применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = 8 \cdot (2x - 7)^{8-1} \cdot (2x - 7)'$
$f'(x) = 8 \cdot (2x - 7)^7 \cdot 2$
$f'(x) = 16(2x - 7)^7$
Ответ: $f'(x) = 16(2x - 7)^7$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(5x+1)^3}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = (5x+1)^{-3}$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 5x+1$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{-3}$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (5x+1)' = 5$.
Применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = -3 \cdot (5x+1)^{-3-1} \cdot (5x+1)'$
$f'(x) = -3 \cdot (5x+1)^{-4} \cdot 5$
$f'(x) = -15(5x+1)^{-4}$
Запишем ответ в виде дроби:
$f'(x) = -\frac{15}{(5x+1)^4}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{15}{(5x+1)^4}$.

в) Дана функция $f(x) = (9x + 5)^4$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 9x+5$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^4$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (9x+5)' = 9$.
Применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = 4 \cdot (9x+5)^{4-1} \cdot (9x+5)'$
$f'(x) = 4 \cdot (9x+5)^3 \cdot 9$
$f'(x) = 36(9x+5)^3$
Ответ: $f'(x) = 36(9x+5)^3$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(6x-1)^5}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = (6x-1)^{-5}$.
Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 6x-1$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{-5}$.
Найдём производную внутренней функции: $u'(x) = (6x-1)' = 6$.
Применим формулу производной сложной степенной функции:
$f'(x) = -5 \cdot (6x-1)^{-5-1} \cdot (6x-1)'$
$f'(x) = -5 \cdot (6x-1)^{-6} \cdot 6$
$f'(x) = -30(6x-1)^{-6}$
Запишем ответ в виде дроби:
$f'(x) = -\frac{30}{(6x-1)^6}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{30}{(6x-1)^6}$.

225. а) $f(x) = \left(3 - \frac{x}{2}\right)^{-9};$

б) $f(x) = \left(\frac{1}{4}x - 7\right)^{8} - (1 - 2x)^{4};$

в) $f(x) = (4 - 1,5x)^{10};$

г) $f(x) = (5x - 2)^{13} - (4x + 7)^{-6}.$

Для решения данных задач необходимо найти производную $f'(x)$ каждой функции. Мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: если $f(x) = g(h(x))$, то $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В частности, для степенной функции $(u(x))^n$ её производная равна $n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$. Также будем использовать правило дифференцирования разности функций: $(u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)$.

а)

Дана функция $f(x) = (3 - \frac{x}{2})^{-9}$.

Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 3 - \frac{x}{2}$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{-9}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (3 - \frac{x}{2})' = -\frac{1}{2}$.

Применяем цепное правило для нахождения производной $f'(x)$:

$f'(x) = -9 \cdot (3 - \frac{x}{2})^{-9-1} \cdot (3 - \frac{x}{2})'$

$f'(x) = -9 \cdot (3 - \frac{x}{2})^{-10} \cdot (-\frac{1}{2})$

Упрощаем полученное выражение:

$f'(x) = \frac{9}{2}(3 - \frac{x}{2})^{-10}$

Ответ: $f'(x) = \frac{9}{2}(3 - \frac{x}{2})^{-10}$

б)

Дана функция $f(x) = (\frac{1}{4}x - 7)^8 - (1 - 2x)^4$.

Производная разности функций равна разности их производных. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого $((\frac{1}{4}x - 7)^8)'$ по цепному правилу:

$((\frac{1}{4}x - 7)^8)' = 8 \cdot (\frac{1}{4}x - 7)^{8-1} \cdot (\frac{1}{4}x - 7)' = 8 \cdot (\frac{1}{4}x - 7)^7 \cdot \frac{1}{4} = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7$

Производная второго слагаемого $((1 - 2x)^4)'$ по цепному правилу:

$((1 - 2x)^4)' = 4 \cdot (1 - 2x)^{4-1} \cdot (1 - 2x)' = 4 \cdot (1 - 2x)^3 \cdot (-2) = -8(1 - 2x)^3$

Теперь вычитаем производную второго слагаемого из производной первого:

$f'(x) = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7 - (-8(1 - 2x)^3)$

$f'(x) = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7 + 8(1 - 2x)^3$

Ответ: $f'(x) = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7 + 8(1 - 2x)^3$

в)

Дана функция $f(x) = (4 - 1,5x)^{10}$.

Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 4 - 1,5x$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{10}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (4 - 1,5x)' = -1,5$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = 10 \cdot (4 - 1,5x)^{10-1} \cdot (4 - 1,5x)'$

$f'(x) = 10 \cdot (4 - 1,5x)^9 \cdot (-1,5)$

Упрощаем полученное выражение:

$f'(x) = -15(4 - 1,5x)^9$

Ответ: $f'(x) = -15(4 - 1,5x)^9$

г)

Дана функция $f(x) = (5x - 2)^{13} - (4x + 7)^{-6}$.

Производная разности функций равна разности их производных. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого $((5x - 2)^{13})'$ по цепному правилу:

$((5x - 2)^{13})' = 13 \cdot (5x - 2)^{13-1} \cdot (5x - 2)' = 13 \cdot (5x - 2)^{12} \cdot 5 = 65(5x - 2)^{12}$

Производная второго слагаемого $((4x + 7)^{-6})'$ по цепному правилу:

$((4x + 7)^{-6})' = -6 \cdot (4x + 7)^{-6-1} \cdot (4x + 7)' = -6 \cdot (4x + 7)^{-7} \cdot 4 = -24(4x + 7)^{-7}$

Теперь вычитаем производную второго слагаемого из производной первого:

$f'(x) = 65(5x - 2)^{12} - (-24(4x + 7)^{-7})$

$f'(x) = 65(5x - 2)^{12} + 24(4x + 7)^{-7}$

Ответ: $f'(x) = 65(5x - 2)^{12} + 24(4x + 7)^{-7}$

226.— Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{1 - 2 \cos x}$;

б) $y = \sqrt{\frac{4}{x^2} - 1}$;

в) $y = \sqrt{\sin x - 0,5}$;

г) $y = \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{1 - 2\cos x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$1 - 2\cos x \ge 0$
Переносим $2\cos x$ в правую часть неравенства:
$1 \ge 2\cos x$
Делим обе части на 2:
$\cos x \le \frac{1}{2}$
Решением этого тригонометрического неравенства является множество значений $x$, для которых косинус не превышает $\frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует дуге от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$. Учитывая периодичность функции косинуса, общее решение неравенства имеет вид:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{4}{x^2} - 1}$ определяется системой условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательно: $\frac{4}{x^2} - 1 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$.
Решим первое неравенство:
$\frac{4}{x^2} \ge 1$
Так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$, можно умножить обе части на $x^2$:
$4 \ge x^2$, или $x^2 \le 4$.
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-2, 2]$.
Совмещая это решение с условием $x \ne 0$, получаем итоговую область определения.
Ответ: $[-2, 0) \cup (0, 2]$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{\sin x - 0,5}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\sin x - 0,5 \ge 0$
$\sin x \ge \frac{1}{2}$
Решением этого тригонометрического неравенства является множество значений $x$, для которых синус не меньше $\frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует дуге от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$. Учитывая периодичность функции синуса, общее решение неравенства имеет вид:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$ определяется системой условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательно: $\frac{1}{x} + 1 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.
Решим первое неравенство, приведя его к общему знаменателю:
$\frac{1+x}{x} \ge 0$
Решим это рациональное неравенство методом интервалов.
Находим нули числителя: $1+x=0 \Rightarrow x=-1$.
Находим нули знаменателя: $x=0$.
Точки $x=-1$ и $x=0$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1]$, $(-1, 0)$, $(0, \infty)$. Точка $x=-1$ включается в решение, так как неравенство нестрогое, а $x=0$ исключается.
- При $x < -1$ (например, $x=-2$), дробь $\frac{1-2}{-2} = \frac{-1}{-2} > 0$. Интервал $(-\infty, -1]$ подходит.
- При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0,5$), дробь $\frac{1-0,5}{-0,5} < 0$. Интервал не подходит.
- При $x > 0$ (например, $x=1$), дробь $\frac{1+1}{1} > 0$. Интервал $(0, \infty)$ подходит.
Объединяем полученные интервалы.
Ответ: $(-\infty, -1] \cup (0, \infty)$.

227. Заданы функции $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $p(x) = \sin x$.

Задайте формулой сложную функцию $h$, если:

a) $h(x) = f(g(x));$

б) $h(x) = g(p(x));$

в) $h(x) = g(f(x));$

г) $h(x) = p(f(x)).$

Для решения задачи воспользуемся определениями данных функций: $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $p(x) = \sin x$. Нахождение сложной функции (композиции функций) заключается в подстановке одной функции в другую в качестве аргумента.

а) $h(x) = f(g(x))$
В этом случае мы подставляем функцию $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = f(g(x)) = f(x^2)$
Теперь в выражение для $f(x)$, то есть в $3 - 2x$, вместо $x$ подставляем $x^2$:
$h(x) = 3 - 2(x^2) = 3 - 2x^2$.
Ответ: $h(x) = 3 - 2x^2$.

б) $h(x) = g(p(x))$
Здесь мы подставляем функцию $p(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = g(p(x)) = g(\sin x)$
Теперь в выражение для $g(x)$, то есть в $x^2$, вместо $x$ подставляем $\sin x$:
$h(x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Ответ: $h(x) = \sin^2 x$.

в) $h(x) = g(f(x))$
В этом случае мы подставляем функцию $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = g(f(x)) = g(3 - 2x)$
Теперь в выражение для $g(x)$, то есть в $x^2$, вместо $x$ подставляем $(3 - 2x)$:
$h(x) = (3 - 2x)^2$
Можно раскрыть скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$h(x) = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2x) + (2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2$.
Ответ: $h(x) = (3 - 2x)^2$ или $h(x) = 4x^2 - 12x + 9$.

г) $h(x) = p(f(x))$
Здесь мы подставляем функцию $f(x)$ в функцию $p(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = p(f(x)) = p(3 - 2x)$
Теперь в выражение для $p(x)$, то есть в $\sin x$, вместо $x$ подставляем $(3 - 2x)$:
$h(x) = \sin(3 - 2x)$.
Ответ: $h(x) = \sin(3 - 2x)$.