Номер 222, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 222, страница 120.

Условие.

Найдите область определения каждой из функций (222–223).

222. а) $y = \sqrt{9 - x^2}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 7x + 12}};

в) $y = \sqrt{0,25 - x^2};

г) $y = \frac{1}{\sqrt{4x + 5 - x^2}}.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Область определения функции $y = \sqrt{9 - x^2}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$9 - x^2 \geq 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть:

$9 \geq x^2$ или $x^2 \leq 9$

Это неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x \leq 3 \\ x \geq -3 \end{cases}$

Следовательно, область определения функции представляет собой отрезок.
Ответ: $x \in [-3, 3]$.

б) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго положительным.

$x^2 - 7x + 12 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 7x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов.
Ответ: $(-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{0,25 - x^2}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$0,25 - x^2 \geq 0$

$x^2 \leq 0,25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|x| \leq 0,5$

Это неравенство эквивалентно $-0,5 \leq x \leq 0,5$.

Область определения функции представляет собой отрезок.
Ответ: $x \in [-0,5, 0,5]$.

г) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{4x + 5 - x^2}}$ задается условием, что выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным.

$4x + 5 - x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.