Номер 223, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 223, страница 120.

Условие.

223.-

а) $y = \sqrt{\cos x};$

б) $y = \frac{1}{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)};$

в) $y = \operatorname{tg} 2x;$

г) $y = \sqrt{\sin x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для функции $y = \sqrt{\cos x}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\cos x \ge 0$
Это неравенство справедливо для углов $x$, находящихся в I и IV координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Учитывая, что период функции косинус равен $2\pi$, общее решение неравенства записывается в виде:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $y = \frac{1}{\sin(x - \frac{\pi}{6})}$ область определения находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \neq 0$
Функция синус обращается в ноль, когда её аргумент равен $\pi k$, где $k$ является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, $x - \frac{\pi}{6} \neq \pi k$.
Выражая $x$, получаем:
$x \neq \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Функция тангенса $y = \tg 2x$ определяется как отношение $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$. Её область определения задается условием, что знаменатель не равен нулю:
$\cos 2x \neq 0$
Функция косинус обращается в ноль, когда её аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m$ является любым целым числом ($m \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$.
Разделив обе части неравенства на 2, находим $x$:
$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

г) Для функции $y = \sqrt{\sin x}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\sin x \ge 0$
Это неравенство справедливо для углов $x$, находящихся в I и II координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[0, \pi]$.
Учитывая, что период функции синус равен $2\pi$, общее решение неравенства записывается в виде:
$2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.