Номер 229, страница 121 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 229, страница 121.

Условие.

229. Найдите такую функцию $f$, что $f(g(x)) = x$:

a) $g(x) = 2x;$

б) $g(x) = \sqrt{x};$

в) $g(x) = 3x + 2;$

г) $g(x) = x^2 + 1, x \le 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит в нахождении функции $f$ такой, что композиция $f(g(x)) = x$. Это означает, что функция $f$ является обратной к функции $g$. Чтобы найти обратную функцию $f$ для данной функции $g$, мы используем следующий метод:

1. Вводим новую переменную, например $t$, и полагаем $t = g(x)$.
2. Из этого равенства выражаем $x$ через $t$.
3. Так как $f(g(x)) = x$ и $t = g(x)$, то $f(t) = x$. Подставляем найденное выражение для $x$.
4. В полученной функции $f(t)$ заменяем переменную $t$ на $x$, чтобы получить итоговый вид $f(x)$.

Применим этот метод к каждому пункту.

а)

Для функции $g(x) = 2x$ имеем условие $f(2x) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x$. Отсюда $x = \frac{t}{2}$. Подставим это в наше условие: $f(t) = \frac{t}{2}$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию.
Ответ: $f(x) = \frac{x}{2}$.

б)

Для функции $g(x) = \sqrt{x}$ имеем условие $f(\sqrt{x}) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = t^2$. Заметим, что область определения функции $g(x)$ — это $x \ge 0$, следовательно, область значений (и область определения для $t$) — это $t \ge 0$. Подставим это в наше условие: $f(t) = t^2$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию.
Ответ: $f(x) = x^2$.

в)

Для функции $g(x) = 3x+2$ имеем условие $f(3x+2) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x+2$. Тогда $3x = t-2$, и, следовательно, $x = \frac{t-2}{3}$. Подставим это в наше условие: $f(t) = \frac{t-2}{3}$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию.
Ответ: $f(x) = \frac{x-2}{3}$.

г)

Для функции $g(x) = x^2+1$ при $x \le 0$ имеем условие $f(x^2+1) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2+1$. Тогда $x^2 = t-1$. Поскольку по условию $x \le 0$, при извлечении квадратного корня мы должны выбрать отрицательное значение: $x = -\sqrt{t-1}$. Подставим это в наше условие: $f(t) = -\sqrt{t-1}$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию. Область определения $f(x)$ совпадает с областью значений $g(x)$, которая при $x \le 0$ является промежутком $[1, +\infty)$.
Ответ: $f(x) = -\sqrt{x-1}$.