Страница 121 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

228. — Заданы функции $f (x) = \frac{1}{x-1}$, $g (x) = \cos x$ и $p (x) = \sqrt{x}$.

Задайте формулой сложную функцию h; найдите ее область определения, если:

a) $h (x) = f (g (x));$

б) $h (x) = f (p (x));$

в) $h (x) = p (g (x));$

г) $h (x) = p (f (x)).$

а) Чтобы задать формулу сложной функции $h(x) = f(g(x))$, нужно подставить выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = f(g(x)) = f(\cos x) = \frac{1}{\cos x - 1}$.
Область определения функции $h(x)$ — это множество всех значений $x$, для которых определена функция $g(x)$ и значение $g(x)$ входит в область определения функции $f(x)$.
1. Область определения функции $g(x) = \cos x$ — все действительные числа, $D(g) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область определения функции $f(y) = \frac{1}{y-1}$ задается условием $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$.
3. Таким образом, для нахождения области определения $h(x)$ необходимо, чтобы выполнялось условие $g(x) \neq 1$, то есть $\cos x \neq 1$.
Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $h(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $h(x) = \frac{1}{\cos x - 1}$; область определения: $x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Задаем формулу для $h(x) = f(p(x))$, подставляя $p(x)$ в $f(x)$.
$h(x) = f(p(x)) = f(\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$.
Находим область определения $h(x)$.
1. Область определения внутренней функции $p(x) = \sqrt{x}$ задается условием $x \ge 0$.
2. Область определения внешней функции $f(y) = \frac{1}{y-1}$ — это $y \neq 1$.
3. Для области определения $h(x)$ должны выполняться оба условия: $x \ge 0$ и $p(x) \neq 1$. Условие $p(x) \neq 1$ означает $\sqrt{x} \neq 1$, что равносильно $x \neq 1$.
Объединяя условия $x \ge 0$ и $x \neq 1$, получаем область определения: $[0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$; область определения: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

в) Задаем формулу для $h(x) = p(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $p(x)$.
$h(x) = p(g(x)) = p(\cos x) = \sqrt{\cos x}$.
Находим область определения $h(x)$.
1. Область определения внутренней функции $g(x) = \cos x$ — все действительные числа.
2. Область определения внешней функции $p(y) = \sqrt{y}$ задается условием $y \ge 0$.
3. Следовательно, для области определения $h(x)$ должно выполняться условие $g(x) \ge 0$, то есть $\cos x \ge 0$.
Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих отрезкам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $h(x) = \sqrt{\cos x}$; область определения: $x \in \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.

г) Задаем формулу для $h(x) = p(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $p(x)$.
$h(x) = p(f(x)) = p(\frac{1}{x-1}) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}$.
Находим область определения $h(x)$.
1. Для внутренней функции $f(x) = \frac{1}{x-1}$ должно выполняться условие $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
2. Для внешней функции $p(y) = \sqrt{y}$ должно выполняться условие $y \ge 0$.
3. Следовательно, для $h(x)$ необходимо, чтобы $f(x) \ge 0$, то есть $\frac{1}{x-1} \ge 0$.
Так как числитель дроби $1$ всегда положителен, дробь будет неотрицательной только тогда, когда ее знаменатель строго положителен: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.
Условие $x > 1$ включает в себя условие $x \neq 1$.
Ответ: $h(x) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}$; область определения: $x \in (1, +\infty)$.

229. Найдите такую функцию $f$, что $f(g(x)) = x$:

a) $g(x) = 2x;$

б) $g(x) = \sqrt{x};$

в) $g(x) = 3x + 2;$

г) $g(x) = x^2 + 1, x \le 0.$

Задача состоит в нахождении функции $f$ такой, что композиция $f(g(x)) = x$. Это означает, что функция $f$ является обратной к функции $g$. Чтобы найти обратную функцию $f$ для данной функции $g$, мы используем следующий метод:

1. Вводим новую переменную, например $t$, и полагаем $t = g(x)$.
2. Из этого равенства выражаем $x$ через $t$.
3. Так как $f(g(x)) = x$ и $t = g(x)$, то $f(t) = x$. Подставляем найденное выражение для $x$.
4. В полученной функции $f(t)$ заменяем переменную $t$ на $x$, чтобы получить итоговый вид $f(x)$.

Применим этот метод к каждому пункту.

а)

Для функции $g(x) = 2x$ имеем условие $f(2x) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x$. Отсюда $x = \frac{t}{2}$. Подставим это в наше условие: $f(t) = \frac{t}{2}$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию.
Ответ: $f(x) = \frac{x}{2}$.

б)

Для функции $g(x) = \sqrt{x}$ имеем условие $f(\sqrt{x}) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = t^2$. Заметим, что область определения функции $g(x)$ — это $x \ge 0$, следовательно, область значений (и область определения для $t$) — это $t \ge 0$. Подставим это в наше условие: $f(t) = t^2$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию.
Ответ: $f(x) = x^2$.

в)

Для функции $g(x) = 3x+2$ имеем условие $f(3x+2) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x+2$. Тогда $3x = t-2$, и, следовательно, $x = \frac{t-2}{3}$. Подставим это в наше условие: $f(t) = \frac{t-2}{3}$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию.
Ответ: $f(x) = \frac{x-2}{3}$.

г)

Для функции $g(x) = x^2+1$ при $x \le 0$ имеем условие $f(x^2+1) = x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2+1$. Тогда $x^2 = t-1$. Поскольку по условию $x \le 0$, при извлечении квадратного корня мы должны выбрать отрицательное значение: $x = -\sqrt{t-1}$. Подставим это в наше условие: $f(t) = -\sqrt{t-1}$. Заменив переменную $t$ на $x$, получаем искомую функцию. Область определения $f(x)$ совпадает с областью значений $g(x)$, которая при $x \le 0$ является промежутком $[1, +\infty)$.
Ответ: $f(x) = -\sqrt{x-1}$.

230. Найдите производную функции f:

а) $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17};$

б) $f(x) = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3};$

в) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 5};$

г) $f(x) = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x - 7}.$

а) $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17}$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому производная функции $y=g(u(x))$ равна $y' = g'(u) \cdot u'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $g(u) = u^{17}$, а внутренняя функция — это многочлен $u(x) = x^3 - 2x^2 + 3$.

Находим производную внешней функции: $g'(u) = (u^{17})' = 17u^{16}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = 3x^2 - 4x$.

Теперь, подставляя $u(x)$ обратно, собираем производную исходной функции:

$f'(x) = 17(x^3 - 2x^2 + 3)^{16} \cdot (3x^2 - 4x)$.

Ответ: $f'(x) = 17(3x^2 - 4x)(x^3 - 2x^2 + 3)^{16}$.

б) $f(x) = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3}$

Используем правило дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)$.

Найдем производную первого слагаемого $g(x) = \sqrt{1 - x^4}$. Это сложная функция, которую можно представить как $g(x) = (1 - x^4)^{1/2}$.

Производная внешней функции $(\sqrt{u})'$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$. Производная внутренней функции $(1 - x^4)'$ равна $-4x^3$.

Таким образом, $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^4}} \cdot (-4x^3) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}}$.

Найдем производную второго слагаемого $h(x) = \frac{1}{x^2 + 3}$. Эту функцию можно представить как $h(x) = (x^2 + 3)^{-1}$.

Производная внешней функции $(u^{-1})'$ равна $-u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$. Производная внутренней функции $(x^2 + 3)'$ равна $2x$.

Таким образом, $h'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 3)^2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = g'(x) + h'(x) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}} - \frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}} - \frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.

в) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 5}$

Для нахождения производной используем цепное правило. Представим функцию в виде $f(x) = (4x^2 + 5)^{1/2}$.

Внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, ее производная $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Внутренняя функция $u(x) = 4x^2 + 5$, ее производная $u'(x) = 8x$.

Применяя цепное правило, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 5}} \cdot (8x) = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 5}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$.

г) $f(x) = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x - 7}$

Используем правило дифференцирования суммы: $f'(x) = ((3 - x^3)^5)' + (\sqrt{2x - 7})'$.

Найдем производную первого слагаемого $g(x) = (3 - x^3)^5$. По цепному правилу:

Внешняя функция $u^5$, ее производная $5u^4$.

Внутренняя функция $3 - x^3$, ее производная $-3x^2$.

$g'(x) = 5(3 - x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(3 - x^3)^4$.

Найдем производную второго слагаемого $h(x) = \sqrt{2x - 7}$. По цепному правилу:

Внешняя функция $\sqrt{u}$, ее производная $\frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Внутренняя функция $2x - 7$, ее производная $2$.

$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x - 7}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.

Складываем производные:

$f'(x) = -15x^2(3 - x^3)^4 + \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.

Ответ: $f'(x) = -15x^2(3 - x^3)^4 + \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.