Номер 228, страница 121 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 228, страница 121.

Условие.

228. — Заданы функции $f (x) = \frac{1}{x-1}$, $g (x) = \cos x$ и $p (x) = \sqrt{x}$.

Задайте формулой сложную функцию h; найдите ее область определения, если:

a) $h (x) = f (g (x));$

б) $h (x) = f (p (x));$

в) $h (x) = p (g (x));$

г) $h (x) = p (f (x)).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы задать формулу сложной функции $h(x) = f(g(x))$, нужно подставить выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = f(g(x)) = f(\cos x) = \frac{1}{\cos x - 1}$.
Область определения функции $h(x)$ — это множество всех значений $x$, для которых определена функция $g(x)$ и значение $g(x)$ входит в область определения функции $f(x)$.
1. Область определения функции $g(x) = \cos x$ — все действительные числа, $D(g) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область определения функции $f(y) = \frac{1}{y-1}$ задается условием $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$.
3. Таким образом, для нахождения области определения $h(x)$ необходимо, чтобы выполнялось условие $g(x) \neq 1$, то есть $\cos x \neq 1$.
Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $h(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $h(x) = \frac{1}{\cos x - 1}$; область определения: $x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Задаем формулу для $h(x) = f(p(x))$, подставляя $p(x)$ в $f(x)$.
$h(x) = f(p(x)) = f(\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$.
Находим область определения $h(x)$.
1. Область определения внутренней функции $p(x) = \sqrt{x}$ задается условием $x \ge 0$.
2. Область определения внешней функции $f(y) = \frac{1}{y-1}$ — это $y \neq 1$.
3. Для области определения $h(x)$ должны выполняться оба условия: $x \ge 0$ и $p(x) \neq 1$. Условие $p(x) \neq 1$ означает $\sqrt{x} \neq 1$, что равносильно $x \neq 1$.
Объединяя условия $x \ge 0$ и $x \neq 1$, получаем область определения: $[0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$; область определения: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

в) Задаем формулу для $h(x) = p(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $p(x)$.
$h(x) = p(g(x)) = p(\cos x) = \sqrt{\cos x}$.
Находим область определения $h(x)$.
1. Область определения внутренней функции $g(x) = \cos x$ — все действительные числа.
2. Область определения внешней функции $p(y) = \sqrt{y}$ задается условием $y \ge 0$.
3. Следовательно, для области определения $h(x)$ должно выполняться условие $g(x) \ge 0$, то есть $\cos x \ge 0$.
Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих отрезкам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $h(x) = \sqrt{\cos x}$; область определения: $x \in \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.

г) Задаем формулу для $h(x) = p(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $p(x)$.
$h(x) = p(f(x)) = p(\frac{1}{x-1}) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}$.
Находим область определения $h(x)$.
1. Для внутренней функции $f(x) = \frac{1}{x-1}$ должно выполняться условие $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
2. Для внешней функции $p(y) = \sqrt{y}$ должно выполняться условие $y \ge 0$.
3. Следовательно, для $h(x)$ необходимо, чтобы $f(x) \ge 0$, то есть $\frac{1}{x-1} \ge 0$.
Так как числитель дроби $1$ всегда положителен, дробь будет неотрицательной только тогда, когда ее знаменатель строго положителен: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.
Условие $x > 1$ включает в себя условие $x \neq 1$.
Ответ: $h(x) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}$; область определения: $x \in (1, +\infty)$.