Номер 227, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 227, страница 120.

Условие.

227. Заданы функции $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $p(x) = \sin x$.

Задайте формулой сложную функцию $h$, если:

a) $h(x) = f(g(x));$

б) $h(x) = g(p(x));$

в) $h(x) = g(f(x));$

г) $h(x) = p(f(x)).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся определениями данных функций: $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $p(x) = \sin x$. Нахождение сложной функции (композиции функций) заключается в подстановке одной функции в другую в качестве аргумента.

а) $h(x) = f(g(x))$
В этом случае мы подставляем функцию $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = f(g(x)) = f(x^2)$
Теперь в выражение для $f(x)$, то есть в $3 - 2x$, вместо $x$ подставляем $x^2$:
$h(x) = 3 - 2(x^2) = 3 - 2x^2$.
Ответ: $h(x) = 3 - 2x^2$.

б) $h(x) = g(p(x))$
Здесь мы подставляем функцию $p(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = g(p(x)) = g(\sin x)$
Теперь в выражение для $g(x)$, то есть в $x^2$, вместо $x$ подставляем $\sin x$:
$h(x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Ответ: $h(x) = \sin^2 x$.

в) $h(x) = g(f(x))$
В этом случае мы подставляем функцию $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = g(f(x)) = g(3 - 2x)$
Теперь в выражение для $g(x)$, то есть в $x^2$, вместо $x$ подставляем $(3 - 2x)$:
$h(x) = (3 - 2x)^2$
Можно раскрыть скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$h(x) = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2x) + (2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2$.
Ответ: $h(x) = (3 - 2x)^2$ или $h(x) = 4x^2 - 12x + 9$.

г) $h(x) = p(f(x))$
Здесь мы подставляем функцию $f(x)$ в функцию $p(x)$ вместо переменной $x$.
$h(x) = p(f(x)) = p(3 - 2x)$
Теперь в выражение для $p(x)$, то есть в $\sin x$, вместо $x$ подставляем $(3 - 2x)$:
$h(x) = \sin(3 - 2x)$.
Ответ: $h(x) = \sin(3 - 2x)$.