Номер 232, страница 123 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 232, страница 123.

Условие.

232. a) $y = 3 \cos x;$

Б) $y = x + 2 \cos x;$

В) $y = 1 - \cos x;$

Г) $y = 2 \sin x + 1,5 \cos x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = 3 \cos x$

Чтобы найти производную функции, воспользуемся правилом дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и производной косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.

Применяем эти правила к нашей функции:

$y' = (3 \cos x)' = 3 \cdot (\cos x)' = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$.

Ответ: $y' = -3 \sin x$.

б) $y = x + 2 \cos x$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования суммы $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$, производную степенной функции $(x)'=1$, правило дифференцирования произведения константы на функцию и производную косинуса.

Производная первого слагаемого: $(x)' = 1$.

Производная второго слагаемого: $(2 \cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = 2 \cdot (-\sin x) = -2 \sin x$.

Складываем производные слагаемых:

$y' = (x + 2 \cos x)' = (x)' + (2 \cos x)' = 1 - 2 \sin x$.

Ответ: $y' = 1 - 2 \sin x$.

в) $y = 1 - \cos x$

Здесь мы используем правило дифференцирования разности $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$, производную константы $(c)'=0$ и производную косинуса.

Производная первого слагаемого (константы): $(1)' = 0$.

Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Вычитаем производные:

$y' = (1 - \cos x)' = (1)' - (\cos x)' = 0 - (-\sin x) = \sin x$.

Ответ: $y' = \sin x$.

г) $y = 2 \sin x + 1,5 \cos x$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы, правило дифференцирования произведения константы на функцию, а также производные синуса $(\sin x)' = \cos x$ и косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.

Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(2 \sin x)' = 2 \cdot (\sin x)' = 2 \cos x$.

Производная второго слагаемого: $(1,5 \cos x)' = 1,5 \cdot (\cos x)' = 1,5 \cdot (-\sin x) = -1,5 \sin x$.

Складываем полученные производные:

$y' = (2 \sin x)' + (1,5 \cos x)' = 2 \cos x - 1,5 \sin x$.

Ответ: $y' = 2 \cos x - 1,5 \sin x$.