Номер 219, страница 118 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 219, страница 118.

Условие.

219.- Верно ли, что функция $\phi (x) = f_1 (x) + f_2 (x)$ не имеет производной в точке $x_0$, если известно, что:

а) каждая из функций $f_1 (x)$ и $f_2 (x)$ не имеет производной в точке $x_0$;

б) $f_1 (x)$ имеет производную в точке $x_0$, а $f_2 (x)$ не имеет?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) Утверждение неверно. Сумма двух функций, не имеющих производной в точке $x_0$, может иметь производную в этой точке. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Пусть точка $x_0 = 0$. Рассмотрим две функции: $f_1(x) = |x|$ и $f_2(x) = -|x|$.

Функция $f_1(x) = |x|$ не имеет производной в точке $x_0 = 0$. Это известно из-за того, что ее односторонние производные в этой точке не равны:

Правосторонняя производная: $f'_{1,+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f_1(0+\Delta x) - f_1(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Левосторонняя производная: $f'_{1,-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f_1(0+\Delta x) - f_1(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.

Поскольку $f'_{1,+}(0) \neq f'_{1,-}(0)$, производная функции $f_1(x)$ в точке $x_0 = 0$ не существует.

Аналогично, функция $f_2(x) = -|x|$ также не имеет производной в точке $x_0 = 0$ (ее правосторонняя производная равна -1, а левосторонняя равна 1).

Теперь рассмотрим их сумму: $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x) = |x| + (-|x|) = |x| - |x| = 0$.

Функция $\phi(x) = 0$ — это константа. Ее производная существует в любой точке и равна нулю: $\phi'(x) = 0$. Следовательно, функция $\phi(x)$ имеет производную в точке $x_0=0$.

Таким образом, мы нашли две функции, каждая из которых не имеет производной в точке $x_0$, но их сумма имеет производную в этой точке.

Ответ: неверно.

б) Утверждение верно. Докажем его методом от противного.

Дано, что функция $f_1(x)$ имеет производную в точке $x_0$ (то есть $f'_1(x_0)$ существует), а функция $f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$. Нам нужно проанализировать их сумму $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x)$.

Предположим, что утверждение неверно, то есть функция $\phi(x)$ имеет производную в точке $x_0$.

Выразим функцию $f_2(x)$ из определения функции $\phi(x)$:

$f_2(x) = \phi(x) - f_1(x)$

Известно свойство производных: если две функции дифференцируемы в некоторой точке, то их разность также дифференцируема в этой точке. В нашем случае:

1. Функция $\phi(x)$ дифференцируема в $x_0$ (по нашему предположению).

2. Функция $f_1(x)$ дифференцируема в $x_0$ (по условию задачи).

Следовательно, их разность, функция $f_2(x) = \phi(x) - f_1(x)$, должна быть дифференцируема в точке $x_0$.

Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что функция $f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно было неверным. Следовательно, функция $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$.

Ответ: верно.