Номер 219, страница 118 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 219, страница 118.
№219 (с. 118)
Условие. №219 (с. 118)
скриншот условия

219.- Верно ли, что функция $\phi (x) = f_1 (x) + f_2 (x)$ не имеет производной в точке $x_0$, если известно, что:
а) каждая из функций $f_1 (x)$ и $f_2 (x)$ не имеет производной в точке $x_0$;
б) $f_1 (x)$ имеет производную в точке $x_0$, а $f_2 (x)$ не имеет?
Решение 1. №219 (с. 118)

Решение 4. №219 (с. 118)

Решение 5. №219 (с. 118)
а) Утверждение неверно. Сумма двух функций, не имеющих производной в точке $x_0$, может иметь производную в этой точке. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.
Пусть точка $x_0 = 0$. Рассмотрим две функции: $f_1(x) = |x|$ и $f_2(x) = -|x|$.
Функция $f_1(x) = |x|$ не имеет производной в точке $x_0 = 0$. Это известно из-за того, что ее односторонние производные в этой точке не равны:
Правосторонняя производная: $f'_{1,+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f_1(0+\Delta x) - f_1(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.
Левосторонняя производная: $f'_{1,-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f_1(0+\Delta x) - f_1(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.
Поскольку $f'_{1,+}(0) \neq f'_{1,-}(0)$, производная функции $f_1(x)$ в точке $x_0 = 0$ не существует.
Аналогично, функция $f_2(x) = -|x|$ также не имеет производной в точке $x_0 = 0$ (ее правосторонняя производная равна -1, а левосторонняя равна 1).
Теперь рассмотрим их сумму: $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x) = |x| + (-|x|) = |x| - |x| = 0$.
Функция $\phi(x) = 0$ — это константа. Ее производная существует в любой точке и равна нулю: $\phi'(x) = 0$. Следовательно, функция $\phi(x)$ имеет производную в точке $x_0=0$.
Таким образом, мы нашли две функции, каждая из которых не имеет производной в точке $x_0$, но их сумма имеет производную в этой точке.
Ответ: неверно.
б) Утверждение верно. Докажем его методом от противного.
Дано, что функция $f_1(x)$ имеет производную в точке $x_0$ (то есть $f'_1(x_0)$ существует), а функция $f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$. Нам нужно проанализировать их сумму $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x)$.
Предположим, что утверждение неверно, то есть функция $\phi(x)$ имеет производную в точке $x_0$.
Выразим функцию $f_2(x)$ из определения функции $\phi(x)$:
$f_2(x) = \phi(x) - f_1(x)$
Известно свойство производных: если две функции дифференцируемы в некоторой точке, то их разность также дифференцируема в этой точке. В нашем случае:
1. Функция $\phi(x)$ дифференцируема в $x_0$ (по нашему предположению).
2. Функция $f_1(x)$ дифференцируема в $x_0$ (по условию задачи).
Следовательно, их разность, функция $f_2(x) = \phi(x) - f_1(x)$, должна быть дифференцируема в точке $x_0$.
Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что функция $f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$.
Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно было неверным. Следовательно, функция $\phi(x) = f_1(x) + f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$.
Ответ: верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 219 расположенного на странице 118 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №219 (с. 118), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.