Номер 213, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 213, страница 117.

Условие.

213. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

а) $f(x) = 2x^2 - x;$

б) $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12;$

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} - 1,5x^2 - 4x;$

г) $f(x) = 2x - 5x^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы решить уравнение $f'(x) = 0$, необходимо для каждой функции найти ее производную, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

а)

Дана функция $f(x) = 2x^2 - x$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (2x^2 - x)' = (2x^2)' - (x)' = 2 \cdot 2x^{2-1} - 1 \cdot x^{1-1} = 4x - 1$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

б)

Дана функция $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12$.

Найдем ее производную. Производная константы равна нулю, $(c)' = 0$.

$f'(x) = (-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12)' = (-\frac{2}{3}x^3)' + (x^2)' + (12)' = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 2x + 0 = -2x^2 + 2x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$-2x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки:

$-2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$-2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} - 1,5x^2 - 4x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - 1,5x^2 - 4x)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (1,5x^2)' - (4x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1,5 \cdot 2x - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 4$.

г)

Дана функция $f(x) = 2x - 5x^2$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x - 5x^2)' = (2x)' - (5x^2)' = 2 - 5 \cdot 2x = 2 - 10x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 - 10x = 0$

$10x = 2$

$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$.