Номер 212, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 212, страница 117.

Условие.

212. Вычислите значения производной функции $f$ в данных точках:

a) $f(x) = x^2 - 3x, x = -\frac{1}{2}, x = 2;$

б) $f(x) = x - 4 \sqrt{x}, x = 0,01, x = 4;$

в) $f(x) = x - \frac{1}{x}, x = \sqrt{2}, x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$

г) $f(x) = \frac{3 - x}{2 + x}, x = -3, x = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x$.
Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы:
$f'(x) = (x^2 - 3x)' = (x^2)' - (3x)' = 2x^{2-1} - 3 \cdot 1 = 2x - 3$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = -\frac{1}{2}$:
$f'(-\frac{1}{2}) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 3 = -1 - 3 = -4$.
При $x = 2$:
$f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Ответ: $f'(-\frac{1}{2}) = -4$; $f'(2) = 1$.

б) Дана функция $f(x) = x - 4\sqrt{x}$.
Для нахождения производной представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$: $f(x) = x - 4x^{1/2}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x - 4x^{1/2})' = (x)' - (4x^{1/2})' = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 1 - 2x^{-1/2} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = 0,01$:
$f'(0,01) = 1 - \frac{2}{\sqrt{0,01}} = 1 - \frac{2}{0,1} = 1 - 20 = -19$.
При $x = 4$:
$f'(4) = 1 - \frac{2}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0$.
Ответ: $f'(0,01) = -19$; $f'(4) = 0$.

в) Дана функция $f(x) = x - \frac{1}{x}$.
Для нахождения производной представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$: $f(x) = x - x^{-1}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x - x^{-1})' = (x)' - (x^{-1})' = 1 - (-1 \cdot x^{-1-1}) = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = \sqrt{2}$:
$f'(\sqrt{2}) = 1 + \frac{1}{(\sqrt{2})^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
При $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:
$f'(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{1}{(-\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{3}} = 1 + 3 = 4$.
Ответ: $f'(\sqrt{2}) = \frac{3}{2}$; $f'(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 4$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{3-x}{2+x}$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 3-x$ и $v(x) = 2+x$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (3-x)' = -1$
$v'(x) = (2+x)' = 1$
Подставим в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{(-1)(2+x) - (3-x)(1)}{(2+x)^2} = \frac{-2 - x - 3 + x}{(2+x)^2} = \frac{-5}{(2+x)^2}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = -3$:
$f'(-3) = \frac{-5}{(2+(-3))^2} = \frac{-5}{(-1)^2} = \frac{-5}{1} = -5$.
При $x = 0$:
$f'(0) = \frac{-5}{(2+0)^2} = \frac{-5}{4} = -1,25$.
Ответ: $f'(-3) = -5$; $f'(0) = -1,25$.