Номер 156, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 156, страница 80.

Условие.

156. a) $ \operatorname{tg} x \le \sqrt{3} $;

б) $ \operatorname{tg} x > -\frac{1}{\sqrt{3}} $;

в) $ \operatorname{tg} x \ge \frac{1}{\sqrt{3}} $;

г) $ \operatorname{tg} x < -1 $.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Решим неравенство $tg x \le \sqrt{3}$.

Сначала найдем значение $x$, для которого $tg x = \sqrt{3}$. Используя таблицу значений тригонометрических функций или определение арктангенса, получаем, что основное решение этого уравнения — это $x = arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Область определения функции тангенса — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Эти точки являются вертикальными асимптотами графика функции.

Для решения тригонометрического неравенства удобно использовать единичную окружность или график функции. Рассмотрим решение на одном периоде тангенса, интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция $tg x$ на этом интервале строго возрастает.

Неравенство $tg x \le \sqrt{3}$ будет выполняться для всех $x$ от левой границы интервала (асимптоты) до точки, где $tg x = \sqrt{3}$. Левая граница $x = -\frac{\pi}{2}$ не включается в решение, так как тангенс в ней не определен. Правая граница $x = \frac{\pi}{3}$ включается, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение имеет вид: $-\frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{3}$.

Учитывая, что период тангенса равен $\pi$, общее решение неравенства получается добавлением $\pi n$ к границам найденного интервала, где $n$ — любое целое число:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

б)

Решим неравенство $tg x > -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдем значение $x$, для которого $tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Основное решение этого уравнения — это $x = arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

Рассмотрим решение на основном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как функция $tg x$ возрастает, неравенство $tg x > -\frac{1}{\sqrt{3}}$ будет выполняться для всех $x$, которые больше, чем $-\frac{\pi}{6}$, и до правой границы интервала, то есть до вертикальной асимптоты $x = \frac{\pi}{2}$. Обе границы не включаются в решение: левая — так как неравенство строгое, правая — так как в точке $x = \frac{\pi}{2}$ тангенс не определен.

Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение имеет вид: $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$.

Добавляя период $\pi n$ к границам интервала, получаем общее решение:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

в)

Решим неравенство $tg x \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдем значение $x$, для которого $tg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Основное решение — $x = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $tg x$ возрастает. Неравенство $tg x \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$ будет выполняться для всех $x$ от точки $x = \frac{\pi}{6}$ (включительно, так как неравенство нестрогое) до правой асимптоты $x = \frac{\pi}{2}$ (не включая ее, так как там функция не определена).

Решение на одном периоде: $\frac{\pi}{6} \le x < \frac{\pi}{2}$.

Общее решение получается добавлением периода $\pi n$ к обеим частям неравенства:

$\frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

г)

Решим неравенство $tg x < -1$.

Найдем значение $x$, для которого $tg x = -1$. Основное решение — $x = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $tg x$ возрастает. Неравенство $tg x < -1$ будет выполняться для всех $x$ от левой асимптоты $x = -\frac{\pi}{2}$ до точки $x = -\frac{\pi}{4}$. Обе границы не включаются: левая — так как в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ тангенс не определен, правая — так как неравенство строгое.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4}$.

Общее решение получается добавлением периода $\pi n$ к границам интервала:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.