Номер 156, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 156, страница 80.
№156 (с. 80)
Условие. №156 (с. 80)
скриншот условия

156. a) $ \operatorname{tg} x \le \sqrt{3} $;
б) $ \operatorname{tg} x > -\frac{1}{\sqrt{3}} $;
в) $ \operatorname{tg} x \ge \frac{1}{\sqrt{3}} $;
г) $ \operatorname{tg} x < -1 $.
Решение 1. №156 (с. 80)

Решение 4. №156 (с. 80)

Решение 5. №156 (с. 80)
а)
Решим неравенство $tg x \le \sqrt{3}$.
Сначала найдем значение $x$, для которого $tg x = \sqrt{3}$. Используя таблицу значений тригонометрических функций или определение арктангенса, получаем, что основное решение этого уравнения — это $x = arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Область определения функции тангенса — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Эти точки являются вертикальными асимптотами графика функции.
Для решения тригонометрического неравенства удобно использовать единичную окружность или график функции. Рассмотрим решение на одном периоде тангенса, интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция $tg x$ на этом интервале строго возрастает.
Неравенство $tg x \le \sqrt{3}$ будет выполняться для всех $x$ от левой границы интервала (асимптоты) до точки, где $tg x = \sqrt{3}$. Левая граница $x = -\frac{\pi}{2}$ не включается в решение, так как тангенс в ней не определен. Правая граница $x = \frac{\pi}{3}$ включается, так как неравенство нестрогое.
Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение имеет вид: $-\frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{3}$.
Учитывая, что период тангенса равен $\pi$, общее решение неравенства получается добавлением $\pi n$ к границам найденного интервала, где $n$ — любое целое число:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.
б)
Решим неравенство $tg x > -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем значение $x$, для которого $tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Основное решение этого уравнения — это $x = arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Рассмотрим решение на основном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как функция $tg x$ возрастает, неравенство $tg x > -\frac{1}{\sqrt{3}}$ будет выполняться для всех $x$, которые больше, чем $-\frac{\pi}{6}$, и до правой границы интервала, то есть до вертикальной асимптоты $x = \frac{\pi}{2}$. Обе границы не включаются в решение: левая — так как неравенство строгое, правая — так как в точке $x = \frac{\pi}{2}$ тангенс не определен.
Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение имеет вид: $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$.
Добавляя период $\pi n$ к границам интервала, получаем общее решение:
$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.
в)
Решим неравенство $tg x \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем значение $x$, для которого $tg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Основное решение — $x = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $tg x$ возрастает. Неравенство $tg x \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$ будет выполняться для всех $x$ от точки $x = \frac{\pi}{6}$ (включительно, так как неравенство нестрогое) до правой асимптоты $x = \frac{\pi}{2}$ (не включая ее, так как там функция не определена).
Решение на одном периоде: $\frac{\pi}{6} \le x < \frac{\pi}{2}$.
Общее решение получается добавлением периода $\pi n$ к обеим частям неравенства:
$\frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.
г)
Решим неравенство $tg x < -1$.
Найдем значение $x$, для которого $tg x = -1$. Основное решение — $x = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $tg x$ возрастает. Неравенство $tg x < -1$ будет выполняться для всех $x$ от левой асимптоты $x = -\frac{\pi}{2}$ до точки $x = -\frac{\pi}{4}$. Обе границы не включаются: левая — так как в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ тангенс не определен, правая — так как неравенство строгое.
Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4}$.
Общее решение получается добавлением периода $\pi n$ к границам интервала:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 156 расположенного на странице 80 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №156 (с. 80), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.