Номер 152, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 152, страница 79.

Условие.

152. a) $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$, $t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

б) $\cos t < -\frac{1}{2}$, $t \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

в) $\cos t > \frac{1}{2}$, $t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

г) $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $t \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Требуется решить неравенство $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ при условии, что $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Для решения воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла $t$ – это абсцисса (координата по оси x) точки на окружности, соответствующей этому углу. Неравенство $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ означает, что мы ищем такие точки на единичной окружности, абсциссы которых больше, чем $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала найдем углы, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = -\frac{\pi}{4}$.
На единичной окружности точки, для которых $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$, лежат на дуге между углами $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$. Таким образом, общее решение неравенства имеет вид $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь нужно выбрать те решения, которые попадают в заданный отрезок $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$. Этот интервал полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.При других целых значениях $k$ интервалы не пересекаются с заданным отрезком.
Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$.

б) Требуется решить неравенство $\cos t < -\frac{1}{2}$ при условии, что $t \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
На единичной окружности мы ищем точки, абсциссы которых меньше $-\frac{1}{2}$.
Найдем углы, для которых $\cos t = -\frac{1}{2}$. Это углы $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = \frac{4\pi}{3}$ (или $t = -\frac{2\pi}{3}$).
Точки, для которых $\cos t < -\frac{1}{2}$, лежат на дуге окружности между углами $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение неравенства: $t \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.Сравним границы: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$, $\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$. Очевидно, $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$.Также, $\frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$. Очевидно, $\frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.Таким образом, интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$ полностью входит в заданный отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Ответ: $t \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.

в) Требуется решить неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$ при условии, что $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
На единичной окружности ищем точки, абсциссы которых больше $\frac{1}{2}$.
Сначала решим уравнение $\cos t = \frac{1}{2}$. Корни уравнения: $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = -\frac{\pi}{3}$.
Точки, удовлетворяющие неравенству $\cos t > \frac{1}{2}$, находятся на дуге окружности между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$. Общее решение: $t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения из заданного отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.Так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, этот интервал полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

г) Требуется решить неравенство $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при условии, что $t \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
На единичной окружности ищем точки, абсциссы которых меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решим уравнение $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Корни этого уравнения: $t = \frac{5\pi}{6}$ и $t = \frac{7\pi}{6}$.
Точки, для которых $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$, лежат на дуге окружности между углами $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$. Общее решение: $t \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения из отрезка $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.Сравним границы: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$, поэтому $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6}$.$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, поэтому $\frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$.Интервал $(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ полностью входит в заданный отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Ответ: $t \in (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.