Номер 149, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 149, страница 75.

Условие.

149. Решите уравнения $cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x \right) = \frac{1}{2}$, $sin \left(2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1$

и найдите для каждого из них:

a) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Решение для уравнения $\cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = \frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$. В нашем случае $y = \frac{\pi}{3} - 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. $\frac{\pi}{3} - 2x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$ $\frac{\pi}{3} - 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ Рассмотрим два случая:

1) $\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-2x = 2\pi n$
$x = -\pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то и $-n$ - любое целое, поэтому можно записать $x = \pi k$, $k \in Z$.

2) $\frac{\pi}{3} - 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{3} - \pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то и $-n$ - любое целое, поэтому можно записать $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in Z$.

Итак, общие решения уравнения: $x = \pi k$ и $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$.

а) наименьший положительный корень

Рассмотрим серию корней $x = \pi k$. При $k=1$ получаем $x = \pi$. При $k \le 0$ корни неположительные. Рассмотрим серию корней $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$. При $k \ge 1$ корни будут больше, а при $k < 0$ корни будут отрицательными. Сравнивая положительные корни $\pi$ и $\frac{\pi}{3}$, находим наименьший: $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Для серии $x = \pi k$:
При $k=0$, $x=0$. $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x=\pi$. $\pi \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$. $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x=\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{4\pi}{3}$. $\frac{4\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Объединяя найденные корни, получаем: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

в) наибольший отрицательный корень

Для серии $x = \pi k$: при $k=-1$, $x=-\pi$.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=-1$, $x=\frac{\pi}{3}-\pi = -\frac{2\pi}{3}$.
Сравниваем $-\pi$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Так как $-\frac{2\pi}{3} > -\pi$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$

Для серии $x = \pi k$:
При $k=0$, $x=0$. $0 \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
При $k=-1$, $x=-\pi$, что не входит в интервал.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$. $\frac{\pi}{3} \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
При $k=-1$, $x=\frac{\pi}{3}-\pi = -\frac{2\pi}{3}$. $-\frac{2\pi}{3} \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
Объединяя найденные корни, получаем: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.

---

Решение для уравнения $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
$2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$2x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{3\pi}{8} + \pi k$, где $k \in Z$.

а) наименьший положительный корень

Подбираем целые значения $k$, чтобы найти наименьший положительный корень:
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$ (отрицательный).
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$ (положительный).
При $k=2$, $x = -\frac{3\pi}{8} + 2\pi = \frac{13\pi}{8}$ (положительный, но больше предыдущего).
Наименьший положительный корень - это $\frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{8}$.

б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Решаем неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$.
$-\frac{4\pi}{8} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi k \le \frac{12\pi}{8}$.
Разделим на $\pi$: $-\frac{4}{8} \le -\frac{3}{8} + k \le \frac{12}{8}$.
Прибавим $\frac{3}{8}$: $-\frac{4}{8} + \frac{3}{8} \le k \le \frac{12}{8} + \frac{3}{8}$.
$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8}$.
$-0.125 \le k \le 1.875$.
Целые значения $k$ в этом диапазоне: $k=0, 1$.
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$.
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$.

в) наибольший отрицательный корень

Подбираем целые значения $k$, чтобы найти наибольший отрицательный корень:
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$ (отрицательный).
При $k=-1$, $x = -\frac{3\pi}{8} - \pi = -\frac{11\pi}{8}$ (отрицательный, но меньше предыдущего).
Наибольший отрицательный корень - это $-\frac{3\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}$.

г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$

Решаем неравенство: $-\pi < -\frac{3\pi}{8} + \pi k < \frac{\pi}{2}$.
Разделим на $\pi$: $-1 < -\frac{3}{8} + k < \frac{1}{2}$.
Прибавим $\frac{3}{8}$: $-1 + \frac{3}{8} < k < \frac{1}{2} + \frac{3}{8}$.
$-\frac{5}{8} < k < \frac{7}{8}$.
$-0.625 < k < 0.875$.
Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне: $k=0$.
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}$.