Номер 149, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 149, страница 75.
№149 (с. 75)
Условие. №149 (с. 75)
скриншот условия

149. Решите уравнения $cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x \right) = \frac{1}{2}$, $sin \left(2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1$
и найдите для каждого из них:
a) наименьший положительный корень;
б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.
Решение 1. №149 (с. 75)


Решение 4. №149 (с. 75)

Решение 5. №149 (с. 75)
Решение для уравнения $\cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = \frac{1}{2}$
Общее решение для уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$. В нашем случае $y = \frac{\pi}{3} - 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. $\frac{\pi}{3} - 2x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$ $\frac{\pi}{3} - 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ Рассмотрим два случая:
1) $\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-2x = 2\pi n$
$x = -\pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то и $-n$ - любое целое, поэтому можно записать $x = \pi k$, $k \in Z$.
2) $\frac{\pi}{3} - 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{3} - \pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то и $-n$ - любое целое, поэтому можно записать $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in Z$.
Итак, общие решения уравнения: $x = \pi k$ и $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$.
а) наименьший положительный корень
Рассмотрим серию корней $x = \pi k$. При $k=1$ получаем $x = \pi$. При $k \le 0$ корни неположительные. Рассмотрим серию корней $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$. При $k \ge 1$ корни будут больше, а при $k < 0$ корни будут отрицательными. Сравнивая положительные корни $\pi$ и $\frac{\pi}{3}$, находим наименьший: $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.
б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$
Для серии $x = \pi k$:
При $k=0$, $x=0$. $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x=\pi$. $\pi \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$. $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x=\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{4\pi}{3}$. $\frac{4\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Объединяя найденные корни, получаем: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.
в) наибольший отрицательный корень
Для серии $x = \pi k$: при $k=-1$, $x=-\pi$.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=-1$, $x=\frac{\pi}{3}-\pi = -\frac{2\pi}{3}$.
Сравниваем $-\pi$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Так как $-\frac{2\pi}{3} > -\pi$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.
г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$
Для серии $x = \pi k$:
При $k=0$, $x=0$. $0 \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
При $k=-1$, $x=-\pi$, что не входит в интервал.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$. $\frac{\pi}{3} \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
При $k=-1$, $x=\frac{\pi}{3}-\pi = -\frac{2\pi}{3}$. $-\frac{2\pi}{3} \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
Объединяя найденные корни, получаем: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.
Решение для уравнения $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
$2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$2x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{3\pi}{8} + \pi k$, где $k \in Z$.
а) наименьший положительный корень
Подбираем целые значения $k$, чтобы найти наименьший положительный корень:
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$ (отрицательный).
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$ (положительный).
При $k=2$, $x = -\frac{3\pi}{8} + 2\pi = \frac{13\pi}{8}$ (положительный, но больше предыдущего).
Наименьший положительный корень - это $\frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{8}$.
б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$
Решаем неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$.
$-\frac{4\pi}{8} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi k \le \frac{12\pi}{8}$.
Разделим на $\pi$: $-\frac{4}{8} \le -\frac{3}{8} + k \le \frac{12}{8}$.
Прибавим $\frac{3}{8}$: $-\frac{4}{8} + \frac{3}{8} \le k \le \frac{12}{8} + \frac{3}{8}$.
$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8}$.
$-0.125 \le k \le 1.875$.
Целые значения $k$ в этом диапазоне: $k=0, 1$.
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$.
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$.
в) наибольший отрицательный корень
Подбираем целые значения $k$, чтобы найти наибольший отрицательный корень:
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$ (отрицательный).
При $k=-1$, $x = -\frac{3\pi}{8} - \pi = -\frac{11\pi}{8}$ (отрицательный, но меньше предыдущего).
Наибольший отрицательный корень - это $-\frac{3\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}$.
г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$
Решаем неравенство: $-\pi < -\frac{3\pi}{8} + \pi k < \frac{\pi}{2}$.
Разделим на $\pi$: $-1 < -\frac{3}{8} + k < \frac{1}{2}$.
Прибавим $\frac{3}{8}$: $-1 + \frac{3}{8} < k < \frac{1}{2} + \frac{3}{8}$.
$-\frac{5}{8} < k < \frac{7}{8}$.
$-0.625 < k < 0.875$.
Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне: $k=0$.
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 149 расположенного на странице 75 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №149 (с. 75), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.