Номер 144, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 144, страница 74.
№144 (с. 74)
Условие. №144 (с. 74)
скриншот условия

Решите уравнения (144–147).
144.
a) $ \sin \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $
б) $ \operatorname{tg} (-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}; $
в) $ \cos (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $
г) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{x}{2}\right) = 1. $
Решение 1. №144 (с. 74)


Решение 4. №144 (с. 74)

Решение 5. №144 (с. 74)
а) Дано уравнение $ \sin(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Поскольку синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, мы можем переписать уравнение в виде:
$ -\sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Домножив обе части на -1, получаем:
$ \sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Общее решение для уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \frac{x}{3} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{3} = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k $
$ \frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:
$ x = 3 \cdot ((-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k) = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
б) Дано уравнение $ \tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Поскольку тангенс — нечетная функция, то есть $ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ -\tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $
$ \tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
Общее решение для уравнения $ \tg(y) = a $ имеет вид $ y = \arctan(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 4x $ и $ a = -\frac{1}{\sqrt{3}} $. Значение $ \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6} $.
Следовательно:
$ 4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:
$ x = \frac{1}{4} (-\frac{\pi}{6} + \pi k) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.
в) Дано уравнение $ \cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Поскольку косинус — четная функция, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ \cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Общее решение для уравнения $ \cos(y) = a $ имеет вид $ y = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} $.
Следовательно:
$ 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$ x = \frac{1}{2} (\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
г) Дано уравнение $ \ctg(-\frac{x}{2}) = 1 $.
Поскольку котангенс — нечетная функция, то есть $ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ -\ctg(\frac{x}{2}) = 1 $
$ \ctg(\frac{x}{2}) = -1 $
Общее решение для уравнения $ \ctg(y) = a $ имеет вид $ y = \text{arccot}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \frac{x}{2} $ и $ a = -1 $. Значение $ \text{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:
$ x = 2 (\frac{3\pi}{4} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 144 расположенного на странице 74 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №144 (с. 74), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.