Номер 144, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 144, страница 74.

Условие.

Решите уравнения (144–147).

144.

a) $ \sin \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

б) $ \operatorname{tg} (-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}; $

в) $ \cos (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

г) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{x}{2}\right) = 1. $

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано уравнение $ \sin(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Поскольку синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, мы можем переписать уравнение в виде:
$ -\sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Домножив обе части на -1, получаем:
$ \sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Общее решение для уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \frac{x}{3} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{3} = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k $
$ \frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:
$ x = 3 \cdot ((-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k) = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Дано уравнение $ \tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Поскольку тангенс — нечетная функция, то есть $ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ -\tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $
$ \tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
Общее решение для уравнения $ \tg(y) = a $ имеет вид $ y = \arctan(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 4x $ и $ a = -\frac{1}{\sqrt{3}} $. Значение $ \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6} $.
Следовательно:
$ 4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:
$ x = \frac{1}{4} (-\frac{\pi}{6} + \pi k) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.

в) Дано уравнение $ \cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Поскольку косинус — четная функция, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ \cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Общее решение для уравнения $ \cos(y) = a $ имеет вид $ y = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} $.
Следовательно:
$ 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$ x = \frac{1}{2} (\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Дано уравнение $ \ctg(-\frac{x}{2}) = 1 $.
Поскольку котангенс — нечетная функция, то есть $ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ -\ctg(\frac{x}{2}) = 1 $
$ \ctg(\frac{x}{2}) = -1 $
Общее решение для уравнения $ \ctg(y) = a $ имеет вид $ y = \text{arccot}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \frac{x}{2} $ и $ a = -1 $. Значение $ \text{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:
$ x = 2 (\frac{3\pi}{4} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.