Номер 129, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 129, страница 68.

Условие.

129. Сравните числа:

a) $ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) $ и $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) $ и $ \operatorname{arctg}(-1) $;

в) $ \operatorname{arctg}\sqrt{3} $ и $ \arcsin 1 $;

г) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ и $ \arcsin \frac{1}{2} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы сравнить числа $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$, найдем их значения.
По определению арксинуса, $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $-\frac{1}{2}$. Так как $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, то $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
По определению арккосинуса, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$, то $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) < \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) < \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Сравним числа $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\operatorname{arctg}(-1)$.
Найдем значение первого числа. $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Используя формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Найдем значение второго числа. $\operatorname{arctg}(-1)$ – это угол из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $-1$. Так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$ и $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, то $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Сравниваем полученные значения: $\frac{2\pi}{3}$ является положительным числом, а $-\frac{\pi}{4}$ – отрицательным. Таким образом, $\frac{2\pi}{3} > -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) > \operatorname{arctg}(-1)$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) > \operatorname{arctg}(-1)$.

в) Сравним числа $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$ и $\arcsin 1$.
Вычислим значение первого выражения. $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$ – это угол из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$. Итак, $\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
Вычислим значение второго выражения. $\arcsin 1$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Итак, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Теперь сравним $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$. Так как $2\pi < 3\pi$, то $\frac{2\pi}{6} < \frac{3\pi}{6}$, а значит $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}\sqrt{3} < \arcsin 1$.
Ответ: $\operatorname{arctg}\sqrt{3} < \arcsin 1$.

г) Сравним числа $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ и $\arcsin\frac{1}{2}$.
Найдем значение первого числа. $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используя формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Найдем значение второго числа. $\arcsin\frac{1}{2}$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, то $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Сравниваем полученные значения: $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Так как $5 > 1$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) > \arcsin\frac{1}{2}$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) > \arcsin\frac{1}{2}$.