Номер 129, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 129, страница 68.
№129 (с. 68)
Условие. №129 (с. 68)
скриншот условия

129. Сравните числа:
a) $ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) $ и $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $;
б) $ \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) $ и $ \operatorname{arctg}(-1) $;
в) $ \operatorname{arctg}\sqrt{3} $ и $ \arcsin 1 $;
г) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ и $ \arcsin \frac{1}{2} $.
Решение 1. №129 (с. 68)

Решение 3. №129 (с. 68)

Решение 4. №129 (с. 68)


Решение 5. №129 (с. 68)
а) Чтобы сравнить числа $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$, найдем их значения.
По определению арксинуса, $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $-\frac{1}{2}$. Так как $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, то $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
По определению арккосинуса, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$, то $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) < \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) < \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) Сравним числа $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\operatorname{arctg}(-1)$.
Найдем значение первого числа. $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Используя формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Найдем значение второго числа. $\operatorname{arctg}(-1)$ – это угол из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $-1$. Так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$ и $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, то $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Сравниваем полученные значения: $\frac{2\pi}{3}$ является положительным числом, а $-\frac{\pi}{4}$ – отрицательным. Таким образом, $\frac{2\pi}{3} > -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) > \operatorname{arctg}(-1)$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) > \operatorname{arctg}(-1)$.
в) Сравним числа $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$ и $\arcsin 1$.
Вычислим значение первого выражения. $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$ – это угол из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$. Итак, $\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
Вычислим значение второго выражения. $\arcsin 1$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Итак, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Теперь сравним $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$. Так как $2\pi < 3\pi$, то $\frac{2\pi}{6} < \frac{3\pi}{6}$, а значит $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}\sqrt{3} < \arcsin 1$.
Ответ: $\operatorname{arctg}\sqrt{3} < \arcsin 1$.
г) Сравним числа $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ и $\arcsin\frac{1}{2}$.
Найдем значение первого числа. $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используя формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Найдем значение второго числа. $\arcsin\frac{1}{2}$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, то $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Сравниваем полученные значения: $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Так как $5 > 1$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) > \arcsin\frac{1}{2}$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) > \arcsin\frac{1}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 129 расположенного на странице 68 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №129 (с. 68), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.