Номер 128, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 128, страница 68.

Условие.

128.-

a) $arctg 1 - arctg \sqrt{3}$;

б) $arctg 1 - arctg (-1)$;

в) $arctg (-\sqrt{3}) + arctg 0$;

г) $arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + arctg \sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы вычислить значение выражения $arctg \ 1 - arctg \sqrt{3}$, необходимо найти значения каждого из арктангенсов. Арктангенс числа $x$ ($arctg \ x$) — это угол $\alpha$, лежащий в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.
Найдем значение $arctg \ 1$. Угол, тангенс которого равен 1, это $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $arctg \ 1 = \frac{\pi}{4}$.
Найдем значение $arctg \sqrt{3}$. Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю:
$arctg \ 1 - arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{12}$.

б) Для вычисления выражения $arctg \ 1 - arctg (-1)$ воспользуемся известным значением $arctg \ 1$ и свойством нечетности функции арктангенс: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
Мы знаем, что $arctg \ 1 = \frac{\pi}{4}$.
Применяя свойство нечетности, получаем: $arctg(-1) = -arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставим значения в исходное выражение:
$arctg \ 1 - arctg (-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) Рассмотрим выражение $arctg (-\sqrt{3}) + arctg \ 0$.
Для первого слагаемого используем свойство нечетности арктангенса: $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3})$. Так как $arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, то $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Для второго слагаемого: $arctg \ 0$ — это угол, тангенс которого равен 0. Этот угол равен 0. Итак, $arctg \ 0 = 0$.
Теперь выполним сложение:
$arctg (-\sqrt{3}) + arctg \ 0 = -\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

г) Рассмотрим выражение $arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + arctg \sqrt{3}$.
Найдем табличные значения для каждого слагаемого.
Значение $arctg \frac{1}{\sqrt{3}}$ — это угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.
Значение $arctg \sqrt{3}$ — это угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
Сложим полученные значения, приведя их к общему знаменателю:
$arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.