Номер 125, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 125, страница 68.

Условие.

125. a) $\arccos \pi$;

б) $\arcsin (3 - \sqrt{20})$;

в) $\arccos (-\sqrt{3})$;

г) $\arcsin \frac{2}{7}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, имеет ли смысл данное выражение, необходимо проверить, принадлежит ли аргумент обратной тригонометрической функции ее области определения. Областью определения для функций $y = arccos(x)$ и $y = arcsin(x)$ является отрезок $[-1, 1]$.

а) $arccos(\pi)$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $\pi$ принадлежит области определения функции арккосинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Значение числа $\pi$ приблизительно равно $3.14159...$
Поскольку $\pi > 1$, аргумент выходит за пределы отрезка $[-1, 1]$.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

б) $arcsin(3 - \sqrt{20})$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $(3 - \sqrt{20})$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Оценим значение выражения $3 - \sqrt{20}$.
Известно, что $16 < 20 < 25$, следовательно, $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$, что равносильно $4 < \sqrt{20} < 5$.
Умножим неравенство на $-1$, изменив знаки неравенства: $-5 < -\sqrt{20} < -4$.
Теперь прибавим $3$ ко всем частям неравенства:
$3 - 5 < 3 - \sqrt{20} < 3 - 4$
$-2 < 3 - \sqrt{20} < -1$
Поскольку значение аргумента $3 - \sqrt{20}$ меньше $-1$, оно не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

в) $arccos(-\sqrt{3})$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $-\sqrt{3}$ принадлежит области определения функции арккосинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Значение $\sqrt{3}$ приблизительно равно $1.732...$
Следовательно, $-\sqrt{3} \approx -1.732...$
Поскольку $-\sqrt{3} < -1$, аргумент выходит за пределы отрезка $[-1, 1]$.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

г) $arcsin\frac{2}{7}$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $\frac{2}{7}$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Проверим выполнение двойного неравенства: $-1 \le \frac{2}{7} \le 1$.
Дробь $\frac{2}{7}$ является положительной, поэтому неравенство $-1 \le \frac{2}{7}$ очевидно верно.
Так как у правильной дроби $\frac{2}{7}$ числитель ($2$) меньше знаменателя ($7$), то ее значение меньше $1$. Таким образом, неравенство $\frac{2}{7} \le 1$ также верно.
Поскольку аргумент $\frac{2}{7}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, данное выражение имеет смысл.
Ответ: выражение имеет смысл.