Номер 121, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 121, страница 67.

Условие.

Вычислите (121-123).

121. a) $ \arcsin 0; $

б) $ \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right); $

в) $ \arcsin 1; $

г) $ \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right). $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) По определению арксинуса, $\arcsin(a)$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. В данном случае нам нужно найти $\arcsin 0$.
Пусть $\arcsin 0 = \alpha$. Тогда по определению должны выполняться два условия: $\sin(\alpha) = 0$ и $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Единственным углом из указанного промежутка, синус которого равен нулю, является $0$. Следовательно, $\alpha = 0$.
Ответ: $0$.

б) Для вычисления арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Применим это свойство к нашему выражению: $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Теперь найдем значение $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Это угол $\alpha$ из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Следовательно, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Тогда искомое значение равно $-\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

в) По определению арксинуса, нам нужно найти такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $1$.
Пусть $\arcsin 1 = \alpha$. Тогда $\sin(\alpha) = 1$ и $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Единственным углом из этого промежутка, синус которого равен единице, является $\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Теперь найдем значение $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Это угол $\alpha$ из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Значит, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Отсюда получаем, что искомое значение равно $-\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.