Страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет каждое из уравнений (116–117)?

116.— а) $x^7 = 3, x \in (-\infty; \infty);$

б) $\frac{3}{x-1} = -5, x \in (-\infty; 1);$

в) $x^6 = 4, x \in (-\infty; 0];$

г) $\frac{5}{x+2} = 2, x \in (-2; \infty).$

а) Дано уравнение $x^7 = 3$ и промежуток $x \in (-\infty; \infty)$. Так как показатель степени 7 является нечетным числом, данное уравнение имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[7]{3}$. Этот корень является действительным числом, поэтому он принадлежит промежутку $(-\infty; \infty)$. Следовательно, уравнение имеет один корень на данном промежутке.
Ответ: 1.

б) Дано уравнение $\frac{3}{x-1} = -5$ и промежуток $x \in (-\infty; 1)$. Область допустимых значений уравнения $x \neq 1$, что выполняется для данного промежутка. Решим уравнение, умножив обе части на $(x-1)$:
$3 = -5(x-1)$
$3 = -5x + 5$
$5x = 5 - 3$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
Проверим, принадлежит ли корень $x = \frac{2}{5}$ промежутку $(-\infty; 1)$. Так как $\frac{2}{5} = 0.4$ и $0.4 < 1$, корень принадлежит заданному промежутку. Следовательно, уравнение имеет один корень на данном промежутке.
Ответ: 1.

в) Дано уравнение $x^6 = 4$ и промежуток $x \in (-\infty; 0]$. Так как показатель степени 6 является четным числом, а правая часть уравнения ($4$) положительна, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[6]{4}$ и $x_2 = -\sqrt[6]{4}$.
Проверим принадлежность каждого корня заданному промежутку:
1. Корень $x_1 = \sqrt[6]{4}$ является положительным числом, поэтому он не принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
2. Корень $x_2 = -\sqrt[6]{4}$ является отрицательным числом, поэтому он принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
Таким образом, только один корень принадлежит заданному промежутку.
Ответ: 1.

г) Дано уравнение $\frac{5}{x+2} = 2$ и промежуток $x \in (-2; \infty)$. Область допустимых значений уравнения $x \neq -2$, что выполняется для данного промежутка. Решим уравнение, умножив обе части на $(x+2)$:
$5 = 2(x+2)$
$5 = 2x + 4$
$2x = 5 - 4$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Проверим, принадлежит ли корень $x = \frac{1}{2}$ промежутку $(-2; \infty)$. Так как $\frac{1}{2} = 0.5$ и $0.5 > -2$, корень принадлежит заданному промежутку. Следовательно, уравнение имеет один корень на данном промежутке.
Ответ: 1.

117.— a) $(x - 3)^3 = -4, x \in (-\infty; \infty);$

б) $2 \sin x = 1,5, x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

В) $(x + 2)^4 = 5, x \in [-2; \infty);$

г) $0,5 \cos \alpha = -\frac{1}{4}, x \in [0; \pi].$

а) Дано уравнение $(x - 3)^3 = -4$ с областью определения $x \in (-\infty; \infty)$.

Для решения извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Кубический корень однозначно определен для любого действительного числа.

$x - 3 = \sqrt[3]{-4}$

Так как $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$, получаем:

$x - 3 = -\sqrt[3]{4}$

Перенесем -3 в правую часть уравнения, чтобы выразить $x$:

$x = 3 - \sqrt[3]{4}$

Полученное значение является действительным числом, следовательно, оно принадлежит указанной области определения $(-\infty; \infty)$.

Ответ: $x = 3 - \sqrt[3]{4}$.

б) Дано уравнение $2 \sin x = 1,5$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sin x$:

$\sin x = \frac{1,5}{2} = 0,75 = \frac{3}{4}$

Решением уравнения $\sin x = a$ является $x = \arcsin(a)$. Нам нужно найти корень, принадлежащий отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Область значений функции арксинус как раз является отрезком $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поэтому на данном отрезке уравнение имеет единственное решение:

$x = \arcsin(\frac{3}{4})$

Так как $0 < \frac{3}{4} < 1$, то $0 < \arcsin(\frac{3}{4}) < \frac{\pi}{2}$, что удовлетворяет условию $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $x = \arcsin(\frac{3}{4})$.

в) Дано уравнение $(x + 2)^4 = 5$ на промежутке $x \in [-2; \infty)$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как степень четная, существует два действительных корня:

$x + 2 = \sqrt[4]{5}$ или $x + 2 = -\sqrt[4]{5}$

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) $x + 2 = \sqrt[4]{5}$

$x_1 = \sqrt[4]{5} - 2$

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2; \infty)$. Поскольку $\sqrt[4]{5} > \sqrt[4]{1} = 1$, то $\sqrt[4]{5} - 2 > 1 - 2 = -1$. Так как $-1 > -2$, корень $x_1$ принадлежит заданному промежутку.

2) $x + 2 = -\sqrt[4]{5}$

$x_2 = -\sqrt[4]{5} - 2$

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2; \infty)$. Поскольку $\sqrt[4]{5} > 0$, то $-\sqrt[4]{5} < 0$. Следовательно, $-\sqrt[4]{5} - 2 < -2$. Этот корень не принадлежит заданному промежутку.

Таким образом, у уравнения есть только одно решение на указанном промежутке.

Ответ: $x = \sqrt[4]{5} - 2$.

г) Дано уравнение $0,5 \cos \alpha = -\frac{1}{4}$ на отрезке $\alpha \in [0; \pi]$ (в условии опечатка, вместо $x$ должна быть $\alpha$).

Сначала выразим $\cos \alpha$. Умножим обе части уравнения на 2:

$0,5 \cdot 2 \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{4} \cdot 2$

$\cos \alpha = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Решением уравнения $\cos \alpha = a$ является $\alpha = \arccos(a)$. Нам нужно найти корень, принадлежащий отрезку $[0; \pi]$.

Область значений функции арккосинус как раз является отрезком $[0; \pi]$. Поэтому на данном отрезке уравнение имеет единственное решение:

$\alpha = \arccos(-\frac{1}{2})$

Используя свойство арккосинуса $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, находим значение:

$\alpha = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, так как $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Отметьте на единичной окружности точки $P_t$, для которых соответствующее значение $t$ удовлетворяет данному равенству. Найдите значение $t$, принадлежащее указанному промежутку (118—120).

118. a) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

в) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

г) $\sin t = 1$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Для решения задачи необходимо найти углы $t$ из заданного промежутка, синус которых равен указанному значению. На единичной окружности значение $\sin t$ соответствует ординате (координате y) точки $P_t$. Промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ соответствует правой половине единичной окружности, включая точки $(0, -1)$ и $(0, 1)$.

а) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

На единичной окружности ищем точки, у которых ордината равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таких точек две: одна в первой четверти, другая — во второй. Их общие решения задаются формулами $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выберем из этих решений то, которое принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Для серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = \frac{\pi}{4}$. Это значение входит в заданный промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = \frac{3\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный промежуток, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, единственное подходящее значение $t$ - это $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

На единичной окружности ищем точки с ординатой $-\frac{1}{2}$. Эти точки находятся в третьей и четвертой четвертях. Общие решения уравнения: $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (или $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. Выберем решение из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Для серии $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{\pi}{6}$. Это значение входит в заданный промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{5\pi}{6}$. Это значение не входит в заданный промежуток, так как $-\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, искомое значение $t$ равно $-\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$

в) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Ищем точки на единичной окружности, ордината которых равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки расположены в третьей и четвертой четвертях. Общие решения уравнения: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (или $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем решение, принадлежащее промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Для серии $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{\pi}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение не принадлежит заданному промежутку, поскольку $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.

Значит, единственное решение в указанном промежутке - это $t = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$

г) $\sin t = 1$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Уравнение $\sin t = 1$ выполняется в единственной точке на единичной окружности — в точке с координатами $(0, 1)$, которая является верхней точкой окружности. Общее решение этого уравнения: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем решение, которое находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

При $n=0$ получаем $t = \frac{\pi}{2}$. Это значение является правым концом промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и, следовательно, принадлежит ему.

При других целых значениях $n$ (например, $n=1$ или $n=-1$) получаемые значения $t$ ($\frac{5\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{2}$) выходят за рамки указанного промежутка.

Таким образом, искомое значение $t = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$

119.-

a) $\cos t = -\frac{1}{2}$, $[0; \pi];$

Б) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[0; \pi];$

В) $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; \pi];$

Г) $\cos t = 0$, $[0; \pi].$

а)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = -\frac{1}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение уравнения $ \cos t = a $ записывается в виде $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число.

Для нашего случая $ a = -\frac{1}{2} $. Значение арккосинуса от отрицательного числа находится по формуле $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Таким образом, все решения уравнения имеют вид $ t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $.

Теперь необходимо выбрать те решения, которые попадают в заданный отрезок $ [0; \pi] $.
1. Для серии решений $ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{2\pi}{3} $. Это значение удовлетворяет условию $ 0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi $. При $ n = 1 $, $ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} $, что больше $ \pi $. При $ n = -1 $, $ t = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} $, что меньше $ 0 $.

2. Для серии решений $ t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = -\frac{2\pi}{3} $, что меньше $ 0 $. При $ n = 1 $, $ t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} $, что больше $ \pi $.

Единственное решение, которое принадлежит отрезку $ [0; \pi] $, это $ \frac{2\pi}{3} $.

Ответ: $ t = \frac{2\pi}{3} $.

б)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение: $ t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n $.

Поскольку $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, общее решение имеет вид $ t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.

Выберем решения из отрезка $ [0; \pi] $.
1. Для серии $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{\pi}{6} $. Это значение принадлежит отрезку $ [0; \pi] $.

2. Для серии $ t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $: Ни при каком целом $ n $ решения не попадают в заданный отрезок.

Следовательно, единственное решение на отрезке $ [0; \pi] $ — это $ \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{6} $.

в)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение: $ t = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n $.

Вычисляем арккосинус: $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Общее решение: $ t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.

Выберем решения из отрезка $ [0; \pi] $.
1. Для серии $ t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{3\pi}{4} $. Это значение удовлетворяет условию $ 0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi $.

2. Для серии $ t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $: Ни при каком целом $ n $ решения не попадают в заданный отрезок.

Единственное решение на отрезке $ [0; \pi] $ — это $ \frac{3\pi}{4} $.

Ответ: $ t = \frac{3\pi}{4} $.

г)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = 0 $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение записывается как $ t = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

Найдем решения, принадлежащие отрезку $ [0; \pi] $, решив неравенство: $ 0 \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \pi $

Разделим все части на $ \pi $: $ 0 \le \frac{1}{2} + n \le 1 $

Вычтем $ \frac{1}{2} $ из всех частей: $ -\frac{1}{2} \le n \le \frac{1}{2} $

Единственное целое значение $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, — это $ n = 0 $.

Подставив $ n = 0 $ в формулу общего решения, получаем: $ t = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $.

Это значение принадлежит отрезку $ [0; \pi] $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{2} $.

120. a) $tg t = -1, (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$

б) $ctg t = \sqrt{3}, (0; \pi);$

в) $tg t = \sqrt{3}, (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$

г) $ctg t = -1, (0; \pi).$

а)

Для решения уравнения $\text{tg } t = -1$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы ищем угол $t$, тангенс которого равен -1.
Общее решение уравнения $\text{tg } t = a$ дается формулой $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае, $a = -1$. Главное значение арктангенса для -1 равно $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = -\frac{\pi}{4}$. Это значение находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
- При $n = 1$: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.
- При $n = -1$: $t = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{5\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.

б)

Для решения уравнения $\text{ctg } t = \sqrt{3}$ на интервале $t \in (0; \pi)$, мы ищем угол $t$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $\text{ctg } t = a$ дается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, $a = \sqrt{3}$. Главное значение арккотангенса для $\sqrt{3}$ равно $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$. Это значение находится в интервале $(0; \pi)$, так как $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.
- При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{7\pi}{6} > \pi$.
- При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{5\pi}{6} < 0$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{6}$.

в)

Для решения уравнения $\text{tg } t = \sqrt{3}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы ищем угол $t$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $\text{tg } t = a$ имеет вид $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $a = \sqrt{3}$. Главное значение арктангенса для $\sqrt{3}$ равно $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{3}$. Это значение находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
- При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{4\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$.
- При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

г)

Для решения уравнения $\text{ctg } t = -1$ на интервале $t \in (0; \pi)$, мы ищем угол $t$, котангенс которого равен -1.
Общее решение уравнения $\text{ctg } t = a$ дается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, $a = -1$. Главное значение арккотангенса для -1 равно $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{3\pi}{4}$. Это значение находится в интервале $(0; \pi)$, так как $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$.
- При $n = 1$: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{7\pi}{4} > \pi$.
- При $n = -1$: $t = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{\pi}{4} < 0$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $t = \frac{3\pi}{4}$.

Вычислите (121-123).

121. a) $ \arcsin 0; $

б) $ \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right); $

в) $ \arcsin 1; $

г) $ \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right). $

а) По определению арксинуса, $\arcsin(a)$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. В данном случае нам нужно найти $\arcsin 0$.
Пусть $\arcsin 0 = \alpha$. Тогда по определению должны выполняться два условия: $\sin(\alpha) = 0$ и $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Единственным углом из указанного промежутка, синус которого равен нулю, является $0$. Следовательно, $\alpha = 0$.
Ответ: $0$.

б) Для вычисления арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Применим это свойство к нашему выражению: $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Теперь найдем значение $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Это угол $\alpha$ из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Следовательно, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Тогда искомое значение равно $-\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

в) По определению арксинуса, нам нужно найти такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $1$.
Пусть $\arcsin 1 = \alpha$. Тогда $\sin(\alpha) = 1$ и $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Единственным углом из этого промежутка, синус которого равен единице, является $\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Теперь найдем значение $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Это угол $\alpha$ из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Значит, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Отсюда получаем, что искомое значение равно $-\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.