Страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

131.— Вычислите:

а) $2 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $3 \arcsin \frac{1}{2} + 4\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \text{arcctg} (-\sqrt{3});$

в) $\text{arcctg} (-\sqrt{3}) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1;$

г) $\arcsin (-1) - \frac{3}{2}\arccos \frac{1}{2} + 3 \text{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$

а) Для вычисления значения выражения $2 \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$ найдем значения каждого слагаемого по отдельности, используя определения обратных тригонометрических функций.
Значение $\arcsin x$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Значение $\operatorname{arctg} x$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Таким образом, $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$ и $-\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Значение $\arccos x$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$. Таким образом, $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0; \pi]$.
Подставим найденные значения в исходное выражение: $2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

б) Для вычисления значения выражения $3 \arcsin\frac{1}{2} + 4\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$ найдем значения каждого члена по отдельности.
$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Используя свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, получаем: $\pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$. Используя свойство $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$, получаем: $\pi - \operatorname{arcctg}\sqrt{3} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим найденные значения в выражение: $3 \cdot \frac{\pi}{6} + 4 \cdot \frac{3\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 3\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{8\pi}{3}$.

в) Для вычисления значения выражения $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1$ найдем значения каждого слагаемого.
$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Используя свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, получаем: $\pi - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Суммируем полученные значения: $-\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-2\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Для вычисления значения выражения $\arcsin(-1) - \frac{3}{2}\arccos\frac{1}{2} + 3\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ найдем значения каждого члена.
$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$.
$\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Подставим найденные значения в выражение: $-\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$.

132.— Докажите, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство:

a) $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$;

б) $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

а)

Чтобы доказать, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$, нам нужно показать, что функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на своей области определения $[-1; 1]$.

Для исследования функции на монотонность воспользуемся производной. Найдем производную функции $f(x) = \arcsin x$:

$f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Производная определена на интервале $(-1, 1)$. Для любого значения $x$ из этого интервала выполняется неравенство $x^2 < 1$, что означает $1 - x^2 > 0$. Так как квадратный корень из положительного числа всегда положителен, то знаменатель $\sqrt{1 - x^2} > 0$.

Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ положительна ($f'(x) > 0$) для всех $x \in (-1, 1)$.

Согласно теореме о монотонности функции, если производная функции положительна на некотором интервале, то функция строго возрастает на этом интервале. Поскольку функция $f(x) = \arcsin x$ непрерывна на отрезке $[-1, 1]$ и ее производная $f'(x) > 0$ на интервале $(-1, 1)$, функция является строго возрастающей на всем отрезке $[-1, 1]$.

По определению строго возрастающей функции, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ из $x_1 < x_2$ следует $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, так как функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на своей области определения $[-1, 1]$.

б)

Чтобы доказать, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arccos x_1 > \arccos x_2$, нам нужно показать, что функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на своей области определения $[-1; 1]$.

Для исследования функции на монотонность также воспользуемся производной. Найдем производную функции $g(x) = \arccos x$:

$g'(x) = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Производная определена на интервале $(-1, 1)$. Как и в пункте а), для любого $x \in (-1, 1)$ знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$ является положительным числом.

Так как перед дробью стоит знак минус, производная $g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ отрицательна ($g'(x) < 0$) для всех $x \in (-1, 1)$.

Согласно теореме о монотонности функции, если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция строго убывает на этом интервале. Поскольку функция $g(x) = \arccos x$ непрерывна на отрезке $[-1, 1]$ и ее производная $g'(x) < 0$ на интервале $(-1, 1)$, функция является строго убывающей на всем отрезке $[-1, 1]$.

По определению строго убывающей функции, если $x_1 < x_2$, то $g(x_1) > g(x_2)$. Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ из $x_1 < x_2$ следует $\arccos x_1 > \arccos x_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, так как функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на своей области определения $[-1, 1]$.

133. Докажите, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство:

a) $\operatorname{arctg} x_1 < \operatorname{arctg} x_2$;

б) $\operatorname{arcctg} x_1 > \operatorname{arcctg} x_2$.

a) Чтобы доказать, что из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arctan x_1 < \arctan x_2$, мы докажем, что функция $f(x) = \arctan x$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Производная функции арктангенс равна:
$f'(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
Рассмотрим знак производной. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $1+x^2 \ge 1$.
Это означает, что дробь $\frac{1}{1+x^2}$ всегда положительна для любого значения $x$. Таким образом, $f'(x) > 0$ на всей области определения.
Поскольку производная функции $f(x) = \arctan x$ положительна на всей числовой прямой, функция является строго возрастающей.
Из определения строго возрастающей функции следует, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$, то есть $\arctan x_1 < \arctan x_2$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $\arctan x_1 < \arctan x_2$ при $x_1 < x_2$ доказано.

б) Чтобы доказать, что из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\text{arccot } x_1 > \text{arccot } x_2$, мы докажем, что функция $g(x) = \text{arccot } x$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Производная функции арккотангенс равна:
$g'(x) = (\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$
Рассмотрим знак производной. Как и в пункте а), выражение $1+x^2$ всегда положительно.
Следовательно, дробь $\frac{1}{1+x^2}$ всегда положительна, а выражение $-\frac{1}{1+x^2}$ всегда отрицательно для любого значения $x$. Таким образом, $g'(x) < 0$ на всей области определения.
Поскольку производная функции $g(x) = \text{arccot } x$ отрицательна на всей числовой прямой, функция является строго убывающей.
Из определения строго убывающей функции следует, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$, то есть $\text{arccot } x_1 > \text{arccot } x_2$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $\text{arccot } x_1 > \text{arccot } x_2$ при $x_1 < x_2$ доказано.

Расположите числа в порядке возрастания (134—135).

134. a) $\arcsin \frac{\pi}{6}$, $\arcsin (-0,3)$, $\arcsin 0,9$;

б) $\arcsin (-0,5)$, $\arcsin (-0,7)$, $\arcsin \frac{\pi}{8}$;

в) $\arccos 0,4$, $\arccos (-0,2)$, $\arccos (-0,8)$;

г) $\arccos 0,9$, $\arccos (-0,6)$, $\arccos \frac{\pi}{5}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства монотонности обратных тригонометрических функций:

• Функция $y = \arcsin(x)$ является возрастающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это значит, что если $x_1 < x_2$, то $\arcsin(x_1) < \arcsin(x_2)$.
• Функция $y = \arccos(x)$ является убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это значит, что если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$.

а)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arcsin \frac{\pi}{6}$, $\arcsin (-0,3)$, $\arcsin 0,9$.

Поскольку функция $y = \arcsin(x)$ возрастающая, порядок значений функции совпадает с порядком ее аргументов. Сравним аргументы.

Найдем приближенное значение для $\frac{\pi}{6}$, используя $\pi \approx 3,1416$: $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,1416}{6} \approx 0,5236$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,3 < 0,5236 < 0,9$. Следовательно, $-0,3 < \frac{\pi}{6} < 0,9$.

Так как функция $\arcsin(x)$ возрастающая, то и значения арксинусов будут располагаться в том же порядке: $\arcsin(-0,3) < \arcsin(\frac{\pi}{6}) < \arcsin(0,9)$.

Ответ: $\arcsin (-0,3)$, $\arcsin \frac{\pi}{6}$, $\arcsin 0,9$.

б)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arcsin (-0,5)$, $\arcsin (-0,7)$, $\arcsin \frac{\pi}{8}$.

Функция $y = \arcsin(x)$ является возрастающей. Сравним ее аргументы.

Найдем приближенное значение для $\frac{\pi}{8}$, используя $\pi \approx 3,1416$: $\frac{\pi}{8} \approx \frac{3,1416}{8} \approx 0,3927$.

Расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,7 < -0,5 < 0,3927$. Следовательно, $-0,7 < -0,5 < \frac{\pi}{8}$.

Так как функция $\arcsin(x)$ возрастающая, порядок значений функции сохраняется: $\arcsin(-0,7) < \arcsin(-0,5) < \arcsin(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $\arcsin (-0,7)$, $\arcsin (-0,5)$, $\arcsin \frac{\pi}{8}$.

в)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arccos 0,4$, $\arccos (-0,2)$, $\arccos (-0,8)$.

Функция $y = \arccos(x)$ является убывающей. Это означает, что чем больше аргумент, тем меньше значение функции. Порядок значений будет обратным порядку аргументов.

Сначала расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,8 < -0,2 < 0,4$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ убывающая, для значений функции неравенство меняет знак: $\arccos(-0,8) > \arccos(-0,2) > \arccos(0,4)$.

Расположив эти значения в порядке возрастания, получаем: $\arccos(0,4) < \arccos(-0,2) < \arccos(-0,8)$.

Ответ: $\arccos 0,4$, $\arccos (-0,2)$, $\arccos (-0,8)$.

г)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arccos 0,9$, $\arccos (-0,6)$, $\arccos \frac{\pi}{5}$.

Функция $y = \arccos(x)$ является убывающей. Сравним ее аргументы.

Найдем приближенное значение для $\frac{\pi}{5}$, используя $\pi \approx 3,1416$: $\frac{\pi}{5} \approx \frac{3,1416}{5} \approx 0,6283$.

Расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,6 < 0,6283 < 0,9$. Следовательно, $-0,6 < \frac{\pi}{5} < 0,9$.

Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, порядок значений функции будет обратным: $\arccos(-0,6) > \arccos(\frac{\pi}{5}) > \arccos(0,9)$.

Запишем эти числа в порядке возрастания: $\arccos(0,9) < \arccos(\frac{\pi}{5}) < \arccos(-0,6)$.

Ответ: $\arccos 0,9$, $\arccos \frac{\pi}{5}$, $\arccos (-0,6)$.

135. a) $\operatorname{arctg} 100$, $\operatorname{arctg} (-5)$, $\operatorname{arctg} 0,7$;

б) $\operatorname{arcctg} 1,2$, $\operatorname{arcctg} \pi$, $\operatorname{arcctg} (-5)$.

а)

Для того чтобы расположить в порядке возрастания числа $ \operatorname{arctg}(100) $, $ \operatorname{arctg}(-5) $ и $ \operatorname{arctg}(0,7) $, необходимо воспользоваться свойством монотонности функции арктангенс.

Функция $ y = \operatorname{arctg}(x) $ является строго возрастающей на всей своей области определения $ (-\infty; +\infty) $. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы данных функций: $ -5 < 0,7 < 100 $.

Так как функция $ \operatorname{arctg}(x) $ возрастающая, то и для значений функции будет сохраняться тот же порядок: $ \operatorname{arctg}(-5) < \operatorname{arctg}(0,7) < \operatorname{arctg}(100) $.

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $ \operatorname{arctg}(-5) $, $ \operatorname{arctg}(0,7) $, $ \operatorname{arctg}(100) $.

Ответ: $ \operatorname{arctg}(-5) $, $ \operatorname{arctg}(0,7) $, $ \operatorname{arctg}(100) $.

б)

Для того чтобы расположить в порядке возрастания числа $ \operatorname{arcctg}(1,2) $, $ \operatorname{arcctg}(\pi) $ и $ \operatorname{arcctg}(-5) $, необходимо воспользоваться свойством монотонности функции арккотангенс.

Функция $ y = \operatorname{arcctg}(x) $ является строго убывающей на всей своей области определения $ (-\infty; +\infty) $. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы данных функций, приняв во внимание, что $ \pi \approx 3,14 $: $ -5 < 1,2 < \pi $.

Так как функция $ \operatorname{arcctg}(x) $ убывающая, то для значений функции порядок будет обратным по сравнению с порядком аргументов: $ \operatorname{arcctg}(-5) > \operatorname{arcctg}(1,2) > \operatorname{arcctg}(\pi) $.

Чтобы расположить эти числа в порядке возрастания (от меньшего к большему), запишем неравенство наоборот: $ \operatorname{arcctg}(\pi) < \operatorname{arcctg}(1,2) < \operatorname{arcctg}(-5) $.

Ответ: $ \operatorname{arcctg}(\pi) $, $ \operatorname{arcctg}(1,2) $, $ \operatorname{arcctg}(-5) $.