Страница 64 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

115.— В какой ближайший момент времени $t$ ($t > 0$), считая от начала движения, смещение точки, совершающей гармонические колебания по закону $x(t) = 5 \cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right)$:

а) максимально;

б) равно 2,5;

в) равно 0;

г) равно -5?

Для решения задачи используется закон гармонических колебаний, заданный уравнением $x(t) = 5 \cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right)$. Необходимо найти наименьший момент времени $t > 0$ для каждого из четырех случаев.

а) максимально

Смещение $x(t)$ является максимальным, когда значение функции косинуса равно 1. Максимальное значение смещения равно амплитуде, то есть 5.

Приравниваем $x(t)$ к 5:

$5 \cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 5$

$\cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 1$

Общее решение этого уравнения имеет вид: $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Мы ищем наименьшее время $t > 0$. Начальная фаза (при $t=0$) равна $\frac{\pi}{3}$. Поскольку время $t$ положительно, фаза $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}$ будет больше $\frac{\pi}{3}$. Нам нужно найти наименьшее значение $2\pi n$, которое превосходит $\frac{\pi}{3}$. Это значение достигается при $n=1$, то есть $2\pi$.

Подставляем это значение в уравнение для фазы:

$\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = 2\pi$

Решаем уравнение относительно $t$:

$\frac{\pi t}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\frac{t}{4} = \frac{5}{3}$

$t = \frac{20}{3}$

Ответ: $t = \frac{20}{3}$ с.

б) равно 2,5

Приравниваем смещение $x(t)$ к 2,5:

$5 \cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 2,5$

$\cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2,5}{5} = 0,5 = \frac{1}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения: $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Рассмотрим два случая. Нам нужно найти наименьшее $t > 0$. Фаза $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}$ должна быть больше начальной фазы $\frac{\pi}{3}$.

Случай 1: $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. При $t=0$ фаза равна $\frac{\pi}{3}$ ($n=0$). Так как ищем $t > 0$, берем $n=1$: $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi \implies \frac{\pi t}{4} = 2\pi \implies t = 8$.

Случай 2: $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Фаза $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ должна быть больше $\frac{\pi}{3}$. При $n=0$ фаза равна $-\frac{\pi}{3}$ (не подходит). При $n=1$ фаза равна $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$, что больше $\frac{\pi}{3}$.

$\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi t}{4} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

$\frac{t}{4} = \frac{4}{3} \implies t = \frac{16}{3}$.

Сравниваем полученные положительные значения времени: $t_1 = 8$ и $t_2 = \frac{16}{3} \approx 5,33$. Наименьшее из них $t = \frac{16}{3}$.

Ответ: $t = \frac{16}{3}$ с.

в) равно 0

Приравниваем смещение $x(t)$ к 0:

$5 \cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 0$

$\cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 0$

Общее решение этого уравнения: $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Мы ищем наименьшее время $t > 0$. Фаза $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}$ должна быть больше начальной фазы $\frac{\pi}{3}$.

Наименьшее значение $\frac{\pi}{2} + \pi n$, которое больше, чем $\frac{\pi}{3}$ (что примерно 1,047 рад), это $\frac{\pi}{2}$ (что примерно 1,57 рад), которое соответствует $n=0$.

$\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi t}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

$\frac{t}{4} = \frac{1}{6} \implies t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Это наименьшее положительное значение времени.

Ответ: $t = \frac{2}{3}$ с.

г) равно -5

Приравниваем смещение $x(t)$ к -5, что является минимально возможным значением:

$5 \cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = -5$

$\cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = -1$

Общее решение этого уравнения: $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Мы ищем наименьшее время $t > 0$. Фаза $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}$ должна быть больше начальной фазы $\frac{\pi}{3}$.

Наименьшее значение $\pi + 2\pi n$, которое больше, чем $\frac{\pi}{3}$, это $\pi$ (при $n=0$).

$\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3} = \pi$

$\frac{\pi t}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{t}{4} = \frac{2}{3} \implies t = \frac{8}{3}$.

Это наименьшее положительное значение времени.

Ответ: $t = \frac{8}{3}$ с.