Номер 123, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 123, страница 68.

Условие.

123.—

a) $ \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} $;

б) $ \text{arctg} (-1) $;

в) $ \text{arctg} 0 $;

г) $ \text{arctg} \sqrt{3} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

По определению арктангенса, найти $arctg \frac{1}{\sqrt{3}}$ — это значит найти такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Таким образом, мы ищем $\alpha$, для которого $tg(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций для основных углов известно, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Поскольку угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арктангенса, то есть $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, он и является искомым значением.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

б)

Требуется вычислить $arctg(-1)$. По определению, это такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = -1$.
Функция арктангенс является нечетной, что означает выполнение равенства $arctg(-x) = -arctg(x)$ для любого $x$.
Используя это свойство, получаем: $arctg(-1) = -arctg(1)$.
Значение $arctg(1)$ — это угол, тангенс которого равен 1. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

в)

Требуется найти значение $arctg(0)$. Искомое значение — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = 0$.
Тангенс угла равен нулю, если синус этого угла равен нулю, а косинус отличен от нуля.
В интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственным углом, удовлетворяющим этому условию, является угол $\alpha = 0$.
Действительно, $tg(0) = 0$.
Ответ: $0$

г)

Требуется найти значение $arctg(\sqrt{3})$. По определению, это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = \sqrt{3}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Так как угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то это и есть искомое значение.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$