Номер 113, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 113, страница 63.

Условие.

113. a) $f(x) = \sin \left( 2x - \frac{2\pi}{3} \right);$

б) $f(x) = \operatorname{ctg} \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right);$

в) $f(x) = 4 \cos \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right);$

г) $f(x) = \operatorname{tg} \left( \frac{3\pi}{4} - 3x \right).$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит в нахождении основного (наименьшего положительного) периода заданных тригонометрических функций. Для этого используются стандартные формулы, в которых $T$ обозначает период, а $k$ — коэффициент при переменной $x$ в аргументе функции.

• Для функций вида $y = A \sin(kx+b)$ и $y = A \cos(kx+b)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

• Для функций вида $y = A \operatorname{tg}(kx+b)$ и $y = A \operatorname{ctg}(kx+b)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

а) $f(x) = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$

Это функция синуса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=2$. Используем формулу для периода синуса.

Вычисление периода:

$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) $f(x) = \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

Это функция котангенса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=\frac{1}{2}$. Используем формулу для периода котангенса.

Вычисление периода:

$T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

в) $f(x) = 4\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right)$

Это функция косинуса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=\frac{1}{3}$. Множитель 4 перед функцией влияет на амплитуду, но не изменяет период. Используем формулу для периода косинуса.

Вычисление периода:

$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.

г) $f(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} - 3x\right)$

Это функция тангенса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=-3$. Используем формулу для периода тангенса.

Вычисление периода:

$T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|-3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.