Номер 107, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 107, страница 62.

Условие.

107.- Найдите амплитуду, период, частоту силы тока, если она изменяется по закону (сила тока измерена в амперах, время — в секундах):

а) $I(t) = 0.25 \sin 50\pi t;$

б) $I(t) = 5 \sin 20\pi t;$

в) $I(t) = 0.5 \sin 10\pi t;$

г) $I(t) = 3 \sin 30\pi t.$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи используется общая формула гармонических колебаний силы тока: $I(t) = I_m \sin(\omega t)$. В этой формуле $I_m$ — это амплитуда силы тока (её максимальное значение), $\omega$ — это циклическая (или угловая) частота, а $t$ — время.

Амплитуду $I_m$ можно найти как коэффициент, стоящий перед функцией синуса в уравнении.

Период колебаний $T$, то есть время одного полного колебания, вычисляется через циклическую частоту по формуле: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Частота колебаний $\nu$, показывающая число колебаний в секунду, является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T}$. Также её можно найти из циклической частоты: $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$.

а) Дано уравнение $I(t) = 0,25 \sin 50\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 0,25$ А.

Циклическая частота: $\omega = 50\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{50\pi} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} = 0,04$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{50\pi}{2\pi} = 25$ Гц.

Ответ: амплитуда 0,25 А, период 0,04 с, частота 25 Гц.

б) Дано уравнение $I(t) = 5 \sin 20\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 5$ А.

Циклическая частота: $\omega = 20\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10$ Гц.

Ответ: амплитуда 5 А, период 0,1 с, частота 10 Гц.

в) Дано уравнение $I(t) = 0,5 \sin 10\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 0,5$ А.

Циклическая частота: $\omega = 10\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ Гц.

Ответ: амплитуда 0,5 А, период 0,2 с, частота 5 Гц.

г) Дано уравнение $I(t) = 3 \sin 30\pi t$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, находим:

Амплитуда: $I_m = 3$ А.

Циклическая частота: $\omega = 30\pi$ рад/с.

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{30\pi} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ с.

Частота: $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{30\pi}{2\pi} = 15$ Гц.

Ответ: амплитуда 3 А, период $\frac{1}{15}$ с, частота 15 Гц.