Страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.3. С помощью графика функции $f$ (рис. 33.10) выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$.

Рис. 33.10

а

д

и

б

е

к

в

ж

л

г

з

Для того чтобы функция $f(x)$ имела предел в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы ее пределы слева и справа в этой точке существовали и были равны. То есть, должно выполняться равенство: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$. Значение самой функции в точке $x_0$ (если оно определено) на существование предела не влияет.

а) На данном графике функция непрерывна в точке $x_0$. При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же значению $f(x_0)$. Левосторонний и правосторонний пределы равны.
Ответ: да, предел существует.

б) В точке $x_0$ на графике изображена "выколотая точка", что означает устранимый разрыв. Несмотря на то, что функция в точке $x_0$ не определена, при приближении к $x_0$ и слева, и справа, значения $f(x)$ стремятся к одному и тому же конечному числу. Таким образом, односторонние пределы равны, и предел существует.
Ответ: да, предел существует.

в) На графике в точке $x_0$ также устранмый разрыв. Функция в точке $x_0$ определена (сплошная точка), но ее значение $f(x_0)$ отличается от значения, к которому стремится функция. Однако, как и в случае (б), левосторонний и правосторонний пределы равны (они соответствуют ординате "выколотой" точки). Следовательно, предел существует.
Ответ: да, предел существует.

г) В точке $x_0$ функция имеет разрыв первого рода ("скачок"). Предел слева ($\lim_{x \to x_0^-} f(x)$) не равен пределу справа ($\lim_{x \to x_0^+} f(x)$), так как ветви графика "подходят" к точке $x_0$ на разной высоте. Поскольку односторонние пределы не равны, предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

д) Аналогично предыдущему случаю, в точке $x_0$ наблюдается разрыв типа "скачок". Пределы функции слева и справа от $x_0$ существуют, но не равны друг другу. Следовательно, предел функции в этой точке не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

е) Прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой для графика функции. При приближении к $x_0$ слева функция стремится к $-\infty$, а при приближении справа — к $+\infty$. Так как односторонние пределы не являются конечными числами, предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

ж) В точке $x_0$ изображен разрыв типа "скачок". Левосторонний предел (соответствует нижней "выколотой" точке) не равен правостороннему пределу (соответствует верхней "выколотой" точке). Поэтому предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

з) Прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой. При приближении к $x_0$ с обеих сторон значения функции неограниченно возрастают ($f(x) \to +\infty$). Поскольку предел должен быть конечным числом, в данном случае говорят, что предел не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

и) Функция определена только при $x \le x_0$. Точка $x_0$ является крайней точкой области определения. Для существования (двустороннего) предела в точке $x_0$ необходимо, чтобы функция была определена в некоторой окрестности этой точки (и слева, и справа). Так как функция не определена для $x > x_0$, правосторонний предел $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ не существует. Следовательно, и сам предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

к) Функция определена только при $x \ge x_0$. Аналогично случаю (и), точка $x_0$ является крайней точкой области определения. Левосторонний предел $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ не существует, так как функция не определена для $x < x_0$. Следовательно, предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

л) Функция определена только при $x \ge x_0$. Как и в случаях (и) и (к), левосторонний предел в точке $x_0$ не существует. Следовательно, двусторонний предел в этой точке не существует.
Ответ: нет, предел не существует.