Страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.1. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1;$

2) $f(x) = 2x - 1, x_0 = 0;$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 1;$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2;$

5) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2;$

6) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0;$

7) $f(x) = 17, x_0 = 3;$

8) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2.$

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1$

График функции $f(x) = 2x - 1$ — это прямая линия. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $f(0)=-1$; если $x=1$, то $f(1)=1$. Проводим прямую через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Функция является непрерывной на всей числовой оси. Чтобы найти предел в точке $x_0 = -1$, можно просто подставить это значение в функцию, так как предел непрерывной функции в точке равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to -1} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $-1$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к $-3$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен -3.

2) $f(x) = 2x - 1, x_0 = 0$

График функции тот же, что и в предыдущем пункте — прямая $y = 2x - 1$.

Функция непрерывна в точке $x_0 = 0$. Предел в этой точке равен значению функции.

$\lim_{x \to 0} (2x - 1) = 2(0) - 1 = -1$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $0$ с обеих сторон, значения функции $f(x)$ стремятся к $-1$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен -1.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 1$

Область определения функции: все $x$, кроме $x = 2$. Упростим выражение, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ при $x \neq 2$.

График функции — это прямая $y = x+2$ с "выколотой" точкой при $x=2$. Координаты выколотой точки: $(2, 2+2) = (2, 4)$.

Точка $x_0 = 1$ принадлежит области определения функции, и в окрестности этой точки функция ведет себя как $y=x+2$. Так как функция $y=x+2$ непрерывна, предел в точке $x_0=1$ существует и равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 1} (x+2) = 1+2 = 3$.

Ответ: предел существует и равен 3.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2$

Как и в предыдущем пункте, график функции — это прямая $y = x+2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

Точка $x_0 = 2$ не принадлежит области определения функции. Однако, предел в точке может существовать. Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в самой точке.

Найдем предел, используя упрощенное выражение для функции:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $2$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ на прямой $y=x+2$ стремятся к $4$. Следовательно, предел существует, несмотря на то, что сама функция в точке $x=2$ не определена.

Ответ: предел существует и равен 4.

5) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2$

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Точка $x_0 = -2$ принадлежит области определения функции ($x \neq 0$), и функция в этой точке непрерывна. Поэтому предел равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $-2$, точка на гиперболе приближается к точке с ординатой $-0.5$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен -0.5.

6) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0$

График функции — гипербола $y = \frac{1}{x}$. Точка $x_0 = 0$ является точкой разрыва (вертикальная асимптота).

Чтобы определить, существует ли предел, рассмотрим односторонние пределы.

Предел слева: когда $x$ стремится к $0$ со стороны отрицательных чисел ($x \to 0^-$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими по модулю отрицательными числами. $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

Предел справа: когда $x$ стремится к $0$ со стороны положительных чисел ($x \to 0^+$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими положительными числами. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.

Поскольку односторонние пределы не равны (и не являются конечными числами), двусторонний предел в точке $x_0 = 0$ не существует.

Ответ: предел не существует.

7) $f(x) = 17, x_0 = 3$

График функции $f(x) = 17$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 17)$ параллельно оси абсцисс.

Функция является постоянной и непрерывной на всей числовой оси. Предел в любой точке равен значению функции.

$\lim_{x \to 3} 17 = 17$.

При приближении $x$ к $3$ с любой стороны, значение функции всегда остается равным $17$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен 17.

8) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Область определения функции: $x \neq 2$.

1. Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, и $|x-2| = x-2$. Тогда $f(x) = \frac{x-2}{2-x} = \frac{x-2}{-(x-2)} = -1$.

2. Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Тогда $f(x) = \frac{2-x}{2-x} = 1$.

Таким образом, функция является кусочно-постоянной: $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 2 \\ -1, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

График функции состоит из двух лучей: горизонтального луча $y=1$ для $x < 2$ (с выколотой точкой на конце $(2, 1)$) и горизонтального луча $y=-1$ для $x > 2$ (с выколотой точкой в начале $(2, -1)$). В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = 2$.

Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 1 = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-1) = -1$.

Поскольку предел слева не равен пределу справа ($1 \neq -1$), двусторонний предел в точке $x_0=2$ не существует.

Ответ: предел не существует.

33.2. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x + 1, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 2x + 1, x_0 = -2;$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -1;$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -3;$

5) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 2;$

6) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 1.$

1) Дана функция $f(x) = 2x + 1$ и точка $x_0 = 1$.
Эта функция является линейной, её график — прямая линия. Линейная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График представляет собой прямую, проходящую через точки, например, $(0, 1)$ и $(1, 3)$.
Поскольку функция непрерывна в точке $x_0 = 1$, её предел в этой точке равен значению функции.
$\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = 1$, он равен 3.

2) Дана функция $f(x) = 2x + 1$ и точка $x_0 = -2$.
Это та же линейная функция, что и в предыдущем пункте. Она непрерывна на всей числовой оси. График — прямая линия.
Для нахождения предела в точке $x_0 = -2$ достаточно подставить это значение в функцию.
$\lim_{x \to -2} (2x + 1) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -2$, он равен -3.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ и точка $x_0 = -1$.
Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = -3$. Упростим функцию, разложив числитель на множители: $f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.
При $x \neq -3$ функция эквивалентна $f(x) = x - 3$. График этой функции — прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$. Координаты выколотой точки: $(-3, -3-3) = (-3, -6)$.
Точка $x_0 = -1$ входит в область определения функции. В окрестности этой точки функция непрерывна, поэтому предел равен значению функции в этой точке.
$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(-1)^2 - 9}{-1 + 3} = \frac{1-9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -1$, он равен -4.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ и точка $x_0 = -3$.
Точка $x_0 = -3$ не входит в область определения функции, так как знаменатель обращается в ноль. В этой точке функция имеет устранимый разрыв.
График функции, как и в п. 3, — это прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$.
Чтобы выяснить, существует ли предел в точке разрыва, рассмотрим поведение функции в её окрестности. Используем упрощенное выражение для функции:
$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = \lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6$.
Когда $x$ приближается к -3 (как слева, так и справа), значение функции стремится к -6. Следовательно, предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -3$, он равен -6.

5) Дана функция $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$ и точка $x_0 = 2$.
Область определения функции: $x \neq 1$. Раскроем модуль:
Если $x > 1$, то $|x-1| = x-1$, и $f(x) = \frac{x-1}{x-1} = 1$.
Если $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1)$, и $f(x) = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1$.
График функции представляет собой два горизонтальных луча: $y = 1$ для $x > 1$ и $y = -1$ для $x < 1$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.
Нас интересует предел в точке $x_0 = 2$. Так как $2 > 1$, в окрестности этой точки функция тождественно равна 1.
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} 1 = 1$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = 2$, он равен 1.

6) Дана функция $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$ и точка $x_0 = 1$.
Как мы выяснили в п. 5, в точке $x_0 = 1$ функция не определена и имеет разрыв. График функции состоит из двух лучей: $y=1$ при $x>1$ и $y=-1$ при $x<1$.
Для существования предела в точке необходимо, чтобы левый и правый односторонние пределы в этой точке были равны.
Правый предел (при $x \to 1^+$): $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$.
Левый предел (при $x \to 1^-$): $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-1) = -1$.
Так как левый и правый пределы не равны ($ -1 \neq 1 $), предел функции в точке $x_0 = 1$ не существует.
Ответ: нет, функция не имеет предела в точке $x_0 = 1$.